raney引理

结论表述

一个整数序列A（可以有负数）满足 \(\sum a_i=1\)，则A的所有循环位移A'中，有且仅有一个满足 \(\forall 1\le i\le n,\sum_{j=1}^i a'_j>0\)。
证明考虑画一个折线图，首先存在性：我们可以找到最右的最低点，然后把原点定在这里就好。唯一性：除了原点的其他点都\(a_i\ge 1\)，换成新的原点的话老的原点一定 \(\le 0\)。

例题

卡特兰数

我们将左括号看做1，右括号看做-1，发现总和为1，限制是前缀和 \(\ge0\)。因此我们给序列再添一个1，且限制改为前缀和 \(\ge 1\)，发现这个1必然在开头，因此添和不添的方案一一对应（删掉开头的1）。由上述引理，在一个串的所有循环同构中，只有一个合法。因此，我们的答案就是 \(\frac{C^{n}_{2n+1}}{2n+1}=\frac{C^{n}_{2n}}{n+1}\)。

P6672 你的生命已如风中残烛

转化题意：有n个非负整数，其和为n，求有多少排列方式使得该序列的所有位置的前缀和\(\ge i\)。
首先\(\ge i\)不好看，我们给每个数减1然后限制就成了前缀和\(\ge 0\)。
将所有数取相反数并反转序列，原限制对应过来就是序列后缀和\(\le 0\)，由于序列和为0，所以等价于前缀和\(\ge 0\)，此时-1变为1且是唯一的正数。我们在这个序列中添一个1，由于这个1必然在头部，删去不影响方案，因此可以运用引理。
答案就是\(\frac{m!}{m-n+1}\)。