算法设计与分析—多重背包问题

多重背包

内容：有n件物品和容量为m的背包 给出i件物品的重量以及价值 还有数量 求解让装入背包的物品重量不超过背包容量 且价值最大 

特点：每个物品都有了一定的数量

和零一背包以及完全背包相比，多重背包要难上一些，它的解法也非常多样。

最简单的方法当然就是将多重背包蜕化成零一背包来解决，比如一个物品最多可以拿N个，我们就把它拆成N种物品，这N种每种物品最多拿一个，相当于我们一种物品可以最多拿N个。但是有个很大的问题，就是复杂度。当然我们可以根据背包的体积做一些优化，比如当物品的数量很多并且超过了背包容量的时候，我们可以把超过容量的数量去掉，但是整体的复杂度还是很高。尤其是当我们背包容量很大的时候。

设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值 可得出状态转移方程 ： 

             f[j]=max{f[j],f[j−k∗w[i]]+k∗v[i]} 

代码如下：

// 多重背包：一维法
    public static int bag4(int W, int[] w, int[] v, int[] num) {
        int n = w.length - 1;// 第一个值，不算
        int[] f = new int[W + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = W; j >= w[i]; j--)
                for (int k = 0; k <= num[i] && j - k * w[i] >= 0; k++) {
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j - k * w[i]] + k * v[i]);
                }
 
        return f[W]; // 最优解
    }

二进制优化做法：

  首先，可以把它转化为一个01背包的问题。每个物品有s件，我们可以把它差分成s份，每份物品当做不同的个体，即只能选一次，这就转化为了01背包物品，但是这样的话，复杂度还是很大。

  继续优化，一个物品的数量是s的话，只要把s拆分成一些数字，使它们能够表示出1-s中任意一个数字，就可以，没必要把它拆成s个1。

  那么这样的数字最少需要多少个呢？最少需要log(s)个，向上取整。

  比如7，它最少需要3个数字来表示：

   即 1（2^0=1 ）， 2（2^1=2）， 4（2^2=4）。原因：每个数字有2种可能选或不选，那么可以表示的不同数字个数就是 2 * 2 * 2 = 8。但是还需要注意一个问题，就是有些数字可能能够表示出来一些大于s      的   数字，但是这件物品最多只有s件，那么就需要特殊处理一下最后一个数。
  比如10，若用1，2， 4， 8表示，可能会表示出来大于10的数字，例如：4+8=12。那么如果最后一个数字加上前面数的总和会大于s，就将它替换为剩下的物品个数，即将8替换为3，这时正好能表示出1-s所    有的数，-> 1, 2，4可以表示7以内的所有数，这些数加上3就可以表示10以内的所有数。

    // 多重背包：一维法-二进制优化
    public static int bag4(int W, int[] w, int[] v, int[] num) {
        int n = w.length;
        int[] f = new int[W + 1];
        int[] vv = new int[n*W];
        int[] ww = new int[n*W];
        // 复制w和v
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            vv[i] = v[i];
            ww[i] = w[i];
        }
        k = n;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            s = num[i]
            for(int i=1;i<=s;i*=2)   //二进制优化
                vv[k]=v[i]*i,ww[k++]=w[i]*i,s-=i;
            if(s>0)
                vv[k]=v[i]*s,ww[k++]=w[i]*s;
        }
 
        for (int i = 1; i <= k; i++)  //01背包
            for (int j = W; j >= ww[i]; j--)
                        f[j] = Math.max(f[j], f[j - ww[i]] + vv[i]);
 
        return f[W]; // 最优解
    }