群论学习笔记

Warning

本文含有大量 \(LaTex\)，请谨慎食用。

我也不知道学了什么，随便写写

1.1 群

设有集合 \(G\) 以及在集合上的运算 \(\oplus\) ，若满足：

  1. 封闭性，即 \(\forall a，b \in G，a \oplus b \in G\) .
  2. 结合律，即 \(\forall a，b，c \in G， \left( a \oplus b \right) \oplus c = a \oplus \left( b \oplus c \right)\).
  3. 存在单位元，即 $ \exists e \in G，\forall a \in G，a \oplus e = e \oplus a = a$.
  4. 每个元素都存在逆元，即 $ \forall a \in G，\exists a^{-1} \in G，a \oplus a^{-1} = a^{-1} \oplus a = e$.

则称 \(\left( G，\oplus \right)\) 为一个群，或 \(G\) 关于 \(\oplus\) 组成一个群，简称 \(G\) 为一个群。

例如：

  • \(\left( \mathbb{Z}，+\right)\) 为一个群。
  • \(\left( \mathbb{Z}，*\right)\) 不是一个群，因为不满足第 \(4\) 条条件。（ \(0\) 不存在逆元）。
  • 设 \(\mathbb{Z_n}=\{0,1,2,...,n-1\}\) ，定义 \(a \oplus b=\left( a+b \right) \mod n\) .
    则 \((\mathbb{Z_n}，\oplus)\) 为一个群，称为 模 \(n\) 的加法群 。

若集合 \(G\) 关于运算 \(\oplus\) 只满足以上第 \(1，2\) 条条件，则我们称 \(\left( G，\oplus \right)\) 为一个半群。

我们定义：

  • 左单位元：$ \exists e_l \in G，\forall a \in G，e_l \oplus a = a$.
  • 右单位元：$ \exists e_r \in G，\forall a \in G，a \oplus e_r = a$.

\(\therefore \exists e_l，e_r \in G，e_l=e_l \oplus e_r =e_r \Longrightarrow e_l=e_r\) .
注意：在 \(G\) 中可能存在多个 \(e_l\) 或 \(e_r\) ，但同时存在 \(e_l，e_r\) 时，\(e\) 唯一。

证明：

反设在 \(G\) 中存在两个不相同的单位元 \(e_1，e_2\)。
\(\because e_1=e_1 \oplus e_2=e_2 \Longrightarrow e_1=e_2\)，与 \(e_1 \not= e_2\) 相矛盾。
\(\therefore e_1=e_2\)，证毕。

由群的定义，我们可得出：逆元存在当且仅当单位元存在。

所以我们定义：若有半群 \(\left( G，\oplus \right)\) 满足第 \(3\) 条条件，则称 \(\left( G，\oplus \right)\) 为一个含幺半群。

我们定义：

  • 左逆元：\(\forall a \in G，\exists a_l^{-1} \in G，a_l^{-1} \oplus a = e\).
  • 右逆元：\(\forall a \in G，\exists a_r^{-1} \in G，a \oplus a_r^{-1} = e\).

$\therefore $ 如果 \(G\) 为含幺半群，且 \(\exists a_l^{-1}，a_r^{-1} \in G\)，则 \(a_l^{-1}=a_r^{-1}\).

证明：

设 \(\exists a_l^{-1}，a_r^{-1} \in G\).
\(\because a_l^{-1} = a_l^{-1} \oplus e = a_l^{-1} \oplus (a \oplus a_r^{-1}) = (a_l^{-1} \oplus a) \oplus a_r^{-1} = e \oplus a_r^{-1} =a_r^{-1}\).
\(\therefore a_l^{-1}=a_r^{-1}\)，证毕。

由群的一些性质，我们可以得出以下推论：

  1. \(\left(a^{-1}\right)^{-1} = a\).
  2. \(\left(a \oplus b\right)^{-1} = b^{-1} \oplus a^{-1}\).
  3. \(\left(a^{-1} \right)^n = \left(a^{n} \right)^{-1}\).

证明：

设有群 \((G，\oplus )\).

  1. \(\because \forall a \in G，\exists a^{-1} \in G，a \oplus a^{-1} = a^{-1} \oplus a = e\).
    $\therefore $ 对于 \(a^{-1}\) ，\(a^{-1} \oplus a = e\).
    \(\therefore \left(a^{-1}\right)^{-1} = a\) ，证毕。

  2. \(\because \forall a，b \in G，(a \oplus b) \oplus \left(a \oplus b\right)^{-1} = e\).
    \(\therefore a \oplus \left(b \oplus \left(a \oplus b\right)^{-1} \right) = e\).
    \(\therefore b \oplus \left(a \oplus b\right)^{-1} =a^{-1}\).
    \(\therefore b^{-1} \oplus b \oplus \left(a \oplus b\right)^{-1} = b^{-1} \oplus a^{-1}\).
    \(\therefore e \oplus (a \oplus b)^{-1} = (a \oplus b)^{-1} =b^{-1} \oplus a^{-1}\) ，证毕。

  3. \(\because a^n = \underbrace{ a \oplus a \oplus \cdots \oplus a }_{n}\).
    $\therefore $ 根据第二条推论，\(\left( \underbrace{ a \oplus a \oplus \cdots \oplus a }_{n} \right)^{-1} = \underbrace{ a^{-1} \oplus a^{-1} \oplus \cdots \oplus a^{-1} }_{n}\).
    \(\therefore \underbrace{ a^{-1} \oplus a^{-1} \oplus \cdots \oplus a^{-1} }_{n} = \left(a^{-1}\right)^n\)，证毕。

定理：半群 \((G， \oplus)\) 为群的充要条件为：

  1. 存在左单位元 \(e_l\) ，\(\forall a \in G，\exists e_l \in G，e_l \oplus a = a\).

  2. 存在以下形式的 \(a_l^{-1}\) ，\(\forall a \in G，\exists a_l^{-1} \in G，a_l^{-1} \oplus a = e_l\).

证明：

1. 必要性： 群 \(G \Longrightarrow\) 半群 \(G\)

$\because $ 群 \(G\) 有单位元 \(e\) 满足 \(\forall a \in G，\exists e \in G，e \oplus a = a\).
且 \(\forall a \in G，\exists a^{-1} \in G，a^{-1} \oplus a = e\).
$\therefore $ 群 \(G\) 是半群。

2. 充分性：

\(\because \forall a \in G，a_l^{-1} \oplus a = e_l，e_l \oplus a = a，\left( a_l^{-1} \right)_l^{-1} \oplus a_l^{-1} = e_l\).
\(\therefore a \oplus a_l^{-1} = e_l \oplus a \oplus a_l^{-1} = \left( a_l^{-1} \right)_l^{-1} \oplus a_l^{-1} \oplus a \oplus a_l^{-1} = \left( a_l^{-1} \right)_l^{-1} \oplus e_l \oplus a_l^{-1} = \left( a_l^{-1} \right)_l^{-1} \oplus a_l^{-1} = e_l\).
\(a \oplus e_l = a \oplus \left( a_l^{-1} \right)^{-1} \oplus a_l^{-1} = a \oplus a_l^{-1} \oplus \left( a_l^{-1} \right)_l^{-1} = e_l \oplus \left( a_l^{-1} \right)_l^{-1} = \left( a_l^{-1} \right)_l^{-1} = a\).
\(\therefore e_l = e_r，a_l^{-1} = a_r^{-1}\).
\(\therefore G\) 是一个群，证毕。

posted @ 2023-02-03 19:13  mukari  阅读(238)  评论(0)    收藏  举报