矩阵论(一)线性代数基础知识

专业名词解释

正交矩阵

\[U^TU=UU^T=I_n \]

1、正交矩阵可对角化
2、属于不同特征值的特征向量相互正交

酉矩阵

\[U^*U=UU^*=I_n \ 或\ U^{-1}=U^*\\ (其中U^*是U的共轭转置) \]

酉矩阵是实数域上的正交矩阵在复数域上的推广

厄米特矩阵 Hermitian matrix

\[U=U^* \]

也称自伴随矩阵，是共轭对称的方阵

对角矩阵 diagonal matrix
是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为\(diag(a_1,a_2,...,a_n)\)

正定矩阵

A 是正定的，如果有\(x^TAx>0\)对任意非零向量都成立。

特征值和特征向量

\[A\vec{v}=\lambda\vec{v}\\ (A为方阵) \]

对于一个给定的方阵A,它的特征向量\(\vec{v}\)经过这个线性变换后，得到的新向量仍然与原来的\(v\)保持在同一条直线上，但其长度或者方向也许会改变

特征空间 eigenspace
一个特征空间是具有相同特征值的特征向量与同一个维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如\(E_{\lambda}=\{u\in V|Au=\lambda u\}\)即为线性变换\(A\)中以\(\lambda\)为特征值的特征空间