DSU on array

DSU on array 是一种把并查集用于一维数组上的技巧，用来维护数组中下一处未处理的位置。简单的说，如果某个位置 \(i\) 已被处理，我们希望下一次访问它时自动跳转到下一个没有被处理的位置 \(j\)。

1 - 适用场景

场景 1 区间赋值（未被赋值的位置）

• 给 \([l, r]\) 内未被处理过的点赋值（染色、标记、填数）

场景 2 区间删除

• 删除 \([l, r]\) 中所有仍存在的点

• 后续查询要跳过已经删除的节点

场景 3 击败 / 消灭模型

• 如：winner 在区间内存活，其他人都被淘汰

场景 4 寻找区间内下一位置

• 寻找区间内第一个“未覆盖”位置

• 区间被划分、覆盖后需要跳过已覆盖点

场景 5 离线模拟多次区间处理

• 处理区间顺序已知，适合用 DSU 做快速跳跃

2 - 常用模板

初始化及函数：

// 初始化 fa[i] = i;
vector<int> fa(n + 2);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);

// 找到 x 的下一个还未处理的位置。
function<int(int)> find = [&](int x) {
    while (x != fa[x]) x = fa[x] = fa[fa[x]];
    return x;
};

// 删除该位置，即将 fa[x] 设为下一个还未处理的位置。
function<void(int)> erase = [&](int x) {
    fa[x] = find(x + 1);
};

遍历方式：

int cur = find(l);
while (cur <= r) {
    /* 代码块 */
    erase(cur);
    cur = find(cur);
}

3 - 例题 - CF356A

题目大意：

有 \(n\) 个从 \(1-n\) 编号的骑士，现在要在他们之间进行总共 \(m\) 场比赛。第 \(i\) 场比赛会在 \([l_i, r_i]\) 编号的骑士之间进行，并决出一位胜者 \(x_i\)，其他骑士会出局并无法参加接下来的比赛。最后留下的骑士就是比赛的最终胜者。请你输出比赛结束后每一位骑士都被哪一位骑士击败了。

思路：

首先思考朴素解法，每次比赛的时候我们会遍历 \([l_i, r_i]\) 并处理此前没有被击败的骑士，这种解法复杂度为 \(O(n^2)\) 明显无法通过大数据范围。

而题意明显符合 DSU on array 的击败模型，因此我们考虑使用 DSU 来跳过每回合被击败的骑士，此时时间复杂度优化至 \(O((n + m) \alpha (n))\)，其中 \(n\) 为骑士数量，\(m\) 为询问次数。因为 \(\alpha (n)\) 为阿克曼反函数，因此整体时间复杂度近似 \(O(n + m)\)。具体实现参考代码。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define endl '\n'
#define i64 long long

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<int> fa(n + 2);
    iota(fa.begin(), fa.end(), 0);

    function<int(int)> find = [&](int x) {
        while (x != fa[x]) x = fa[x] = fa[fa[x]];
        return x;
    };
    
    function<void(int)> erase = [&](int x) {
        fa[x] = find(x + 1);
    };

    vector<int> ans(n + 1);
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        int l, r, winner;
        cin >> l >> r >> winner;
        if (l > r) swap(l, r);
        for (int j = find(l); j <= r; j = find(j) /* 跳转至下一个未处理的位置 */) {
            // 跳过 winner
            if (j == winner) {
                j = find(j + 1);
                continue;
            }
            // 赋值答案并删除 j
            ans[j] = winner;
            erase(j);
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        cout << ans[i] << ' ';
    }
}