Codeforces Round 1037 (Div. 3) 补题记录

Codeforces Round 1037 (Div. 3) 补题记录

G1 - Big Wins! (easy version)

题目描述：

给定一个 \(n\) 个元素的数组 {\(a_1, a_2, \dots, a_n\)} \((a_i \leq min(n, 100))\)，找到一个子数组 \(a[l, r]\) 使表达式 \(med[l, r] - min[l, r]\) 的值最大。

其中 \(med[l, r]\) 为区间 \([l, r]\) 内元素的中位数，\(min[l, r]\) 为区间 \([l, r]\) 内元素的最小值。

思路：

注意到 \(a_i\) 的值域非常小，考虑枚举中位数以及最小值。关于中位数的trick可以参考Luogu P1627。这里我们维护 \(w[i]\) 来表示 \([1, i]\) 区间内 \(<k\) 与 \(\geq k\) 的元素的分布情况。那么一个 \(med \geq k\) 的区间 \([l, r]\) 一定符合 \(w[r] - w[l - 1] \geq 0\)。

相应的，如果我们要让 \(a_i\) 作为最小值产生贡献，那么一定需要存在一个覆盖 \(i\) 的区间 \([l, r]\) 符合 \(w[r] - w[l - 1] \geq 0\)，那么我们只需要维护 \(w\) 的前缀最小值以及后缀最大值进行比较就可以得出可行性。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define endl '\n'
#define i64 long long

void MuBai() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n + 1), w(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];

    int ans = 0;
    for (int med = 1; med <= 100; med ++ ) {
        vector<int> mi(n + 1), mx(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            w[i] = w[i - 1] + (a[i] >= med ? 1 : -1);
            mi[i] = min(mi[i - 1], w[i]);
        }
        mx[n] = w[n];
        for (int i = n - 1; i >= 1; i -- ) {
            mx[i] = max(mx[i + 1], w[i]);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            if (mi[i - 1] <= mx[i]) {
                ans = max(ans, med - a[i]);
            }
        }
    }

    cout << ans << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    int t; cin >> t;
    while (t -- ) MuBai();

    return 0;
}

G2 - Big Wins! (hard version)

题目描述：

hard version 的描述与 easy 相同，只是 \(a_i\) 的值域扩大到了 \((1 \leq a_i \leq n)\)。

思路：

继续枚举最小值显然不现实，考虑维护当 \(a_i\) 作为中位数时的极长区间。对于一个极大区间，他的右端点一定是唯一的，那么我们只需要考虑维护当前中位数的最靠右的右端点即可（左端点同理）。

当我们用 \(w[i]\) 来表示第 \(i\) 个元素与中位数 \(med\) 的关系时，初始 \(w\) 中一定全为 \(-1\)，我们考虑从大到小对中位数进行枚举，可以发现每次枚举到一个数 \(a_i\) 时，只有 \(w[i]\) 会发生变化：\(-1 \rightarrow 1\)。我们考虑用并查集来维护区间，同时对区间进行两次扩展：第一次扩展，使区间的值 \(Sum = \sum w[i] = 0\) 此时满足中位数为 \(a_i\) 的区间的条件；第二次扩展，使区间值 \(Sum = -1\) 确保每一个区间的值都为 \(-1\)。（这一步源于并查集维护区间合并，可以参考CF722C）即，两次扩展之后只有右端点不会对最小值产生贡献。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define endl '\n'
#define i64 long long

struct DSU {
    vector<int> f, siz;
    
    DSU() {}
    DSU(int n) {
        init(n);
    }
    
    void init(int n) {
        f.resize(n);
        iota(f.begin(), f.end(), 0);
        siz.assign(n, 1);
    }
    
    int find(int x) {
        while (x != f[x]) {
            x = f[x] = f[f[x]];
        }
        return x;
    }
    
    bool same(int x, int y) {
        return find(x) == find(y);
    }
    
    bool merge(int x, int y) {
        x = find(x);
        y = find(y);
        if (x == y) {
            return false;
        }
        siz[x] += siz[y];
        f[y] = x;
        return true;
    }
    
    int size(int x) {
        return siz[find(x)];
    }
};

void MuBai() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        cin >> a[i];
    }
    
    vector<int> p(n);
    iota(p.begin(), p.end(), 1);
    ranges::sort(p, [&](int i, int j) {
        return a[i] > a[j];
    });

    DSU left(n + 2), right(n + 2);

    int ans = 0, mi = n + 1;
    for (auto cur : p) {
        for (int i = 1; i <= 2; i ++ ) {
            int x = left.find(cur);
            if (x) {
                left.merge(x - 1, x);
                mi = min(mi, a[x]);
            }
        }
        ans = max(ans, a[cur] - mi);
    }
    mi = n + 1;
    for (auto cur : p) {
        for (int i = 1; i <= 2; i ++ ) {
            int x = right.find(cur);
            if (x <= n) {
                right.merge(x + 1, x);
                mi = min(mi, a[x]);
            }
        }
        ans = max(ans, a[cur] - mi);
    }

    cout << ans << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    int t; cin >> t;
    while (t -- ) MuBai();

    return 0;
}