从欧几里得开始（一）
从欧几里得开始（一）
如何计算两个自然数的最大公约数
公约数有时又叫做公共因子(common factor), 我们从小就有很先进的一个理论作为常识：任何一个自然数都有可以拆成一些因子相乘得到，更进一步，如果我们将素数作为因子集合，那么这个拆分的形式也是唯一的。换一句话来说，一个个体能够被分解，另外一个个体也能被分解，你可以找到一些公共部分，更进一步说，如果公共部分限定在一个特定的集合里面，这个拆分是唯一的。你不觉得这是一件十分先进的理论吗？
公约数就是这样一个理论的砖块，那么如何去找公约数？
找到一个自然数的约数
对于一个自然数而言，什么样的数是约数（因子）？因为是把自然数进行乘法分解，那么自然数对于约数的断定就需要乘法参与其中。
约数（或者说因子）不能超过自然数本身，因为我们最开始的目的是实现自然数的拆分，将自然数拆成更小一些的部分，所以如果我们的约数超过了本体的自然数，我们就不需要进行拆分这一行为了，这是说约数要受限，有界，限制于自然数。
这两段论述说明了一个约数的三个性质：
如果不想扩展到负约数，我们还要加一条：
所以对于一个具体的自然数，比如说28的约数是哪一些；
首先对于自然数28来说约数的范围是在1到28之间，因为性质3和4；
然后这些约数是自然数（性质1），所以一个自然的想法是列举1到28之间的所有自然数。
1,2,3,4,5,6,7,8,9，... 27,28，一个一个的去验证，这些自然数是不是约数；
那么这个裁决或者判定依靠性质2，对于约数\(a\)，自然数\(N\)能否找到正整数k，满足$ ak=N$.
就是说要有一个这样的过程：
\(a=1,N=28\)时，是否找到一个正整数k，让 \(ak=N\)成立,就是\(1\cdot k=28\)成立；
我们
让k=1开始，\(1\cdot 1=28\)成立吗？不成立；下一个
k=2，\(1\cdot 2=28\)成立吗？不成立；下一个
k=3，\(1\cdot 3=28\)成立吗？不成立；下一个
k=4，\(1\cdot 4=28\)成立吗？不成立；下一个
k=5，\(1\cdot 5=28\)成立吗？不成立；下一个
k=6，\(1\cdot 6=28\)成立吗？不成立；下一个
.....直到
k=28,\(1\cdot 28=28\)成立吗?成立，恩找到这个这个k了；
我们做了28次验算，推断出了1是自然数28的约数。
\(a=2,N=28\)这个组合，也有一个类似的过程：
我们
让k=1开始，\(2\cdot 1=28\)成立吗？不成立；下一个
k=2, \(2\cdot 2=28\)成立吗？不成立；下一个
k=3, \(2\cdot 3=28\)成立吗？不成立；下一个
k=4, \(2\cdot 4=28\)成立吗？不成立；下一个
k=5, \(2\cdot 5=28\)成立吗？不成立；下一个
....
k=14, \(2\cdot 14=28\)成立吗？成立；
这一次14次验算，我们找到了k，得出了一个结论：
2是28的约数；
现在轮到\(a=3,N=28\)这个组合，也有这样一个类似的过程：
我们
让k=1开始， \(3\cdot 1=28\)成立吗？不成立；下一个
k=2， \(3\cdot 2=28\)成立吗？不成立；下一个
k=3， \(3\cdot 3=28\)成立吗？不成立；下一个
k=4， \(3\cdot 4=28\)成立吗？不成立；下一个
k=5， \(3\cdot 5=28\)成立吗？不成立；下一个
k=6， \(3\cdot 6=28\)成立吗？不成立；下一个
k=7， \(3\cdot 7=28\)成立吗？不成立；下一个
k=8， \(3\cdot 8=28\)成立吗？不成立；下一个
k=9， \(3\cdot 9=28\)成立吗？不成立；下一个
k=10， \(3\cdot 10=28\)成立吗？不成立；下一个
k=11， \(3\cdot 11=28\)成立吗？不成立；下一个
.....、
k=28， \(3\cdot 28=28\)成立吗？不成立；下一个
k=29， \(3\cdot 29=28\)成立吗？不成立；下一个
k=30， \(3\cdot 30=28\)成立吗？不成立；下一个
k=31， \(3\cdot 31=28\)成立吗？不成立；下一个
k=32， \(3\cdot 32=28\)成立吗？不成立；下一个
k=33， \(3\cdot 33=28\)成立吗？不成立；下一个
....
k=100， \(3\cdot 100=28\)成立吗？不成立；下一个
k=101， \(3\cdot 101=28\)成立吗？不成立；下一个
k=102， \(3\cdot 102=28\)成立吗？不成立；下一个
....
k=10001， \(3\cdot 10001=28\)成立吗？不成立；下一个
k=10002， \(3\cdot 10002=28\)成立吗？不成立；下一个
....
k=10000001， \(3\cdot 10000001=28\)成立吗？不成立；下一个
k=10000002， \(3\cdot 10000002=28\)成立吗？不成立；下一个
...
这个过程找不到，这样的正整数k，我们能轻易的给下这个判断吗，毕竟验算了千万次级别了，还是没找到k符合。
整个过程中，我们从标红的两个判断来看：
k=9， \(3\cdot 9=28\)成立吗？不成立；下一个
k=10， \(3\cdot 10=28\)成立吗？不成立；下一个
在k=9时，\(3\cdot 9=27 < 28\);
在k=10时，\(3\cdot 10=30 > 28;\)
这9和10就像是形成了一道边界，
从k=10开始，可以用归纳证明：
\(k\ge10时，3k>28\)；
这个结论\(k\ge10时，3k>28\)；一次性的排除了我们需要考虑的无限多种情况，这就是归纳法的作用，把无限的情况给刚掉了。
所以9这个数就是我们的边界，而且是最好的边界，因为这个数限定的验算情况，按照直觉来说，是这个情况下最少的；
当时我们先不需要这么好的一个边界，我们只要一个粗略的边界，比如28本身，也就是N本身这个边界，将无数多种情况的验算，变成28种，对于28这个具体的自然数来说是28种，对于N这个自然数来说，就是N种。
所以考察一个数a是否是自然数N的约数，只要最多进行N种验算，就能确定结果。这样就不会出现a=3是那种无限的验证情况，这要归功于归纳法，就是这个结论\(k\ge10时，3k>28\)；它把无限多种情况给变成有限情况。
综合以上，要断定一个数a是否是自然数N的约数被总结出一个下面的过程：
以上是原材料，现在开始按照一定顺序组合这些：
步骤1-步骤3组合出来的这个过程需要两个输入的数，总会产生一种结果，要么是true，要么是false。这样一个的过程叫做一个算法。
这里让人有些意外的是，步骤3里面出现的判定，k=N+1？ 这个判定在第一时间并不会正常想到，但是稍微分析一下，这就是边界条件发挥重要作用的地方，这也是算法会终止最后的到一个结果的关键，从无限情况收束到有限的关键。
边界，这是一个很关键的词。
嗯，文字的描述十分不直观，如果用图，这个算法就是这样表示：
以简单形式的这个算法完成了，但是我们知道，这必定不是一个很高效的算法。
比如我们之前已经充分验算过的情况来说：
\(a=1，N=28\)作为这个算法的输入，我们做一个简单的分析，（只考虑判定过程\(ak=N?\)到底运转了几次？
（在这个算法里面，迭代过程以及另外一个判定过程\(k=N+1?\)跟判定过程\(ak=N?\)运转次数是绑在一起的，这三个过程基本上是连续发生，唯一特殊的情况出现在抵达边界的时候，三个过程中迭代会少一次。但是我们不需要这么详尽的分析，因为三个差不多，统计一个就知道另外两个的情况了。）
k=1,第1次，下一轮迭代；
k=2，第2次，下一轮迭代；
......,
k=28，第28次，不用迭代了，出结果了，true。
嗯，我们用了28次判定过程\(ak=N?\)。
现在换成另外一个输入：
\(a=2，N=28\)，类似k=14出结果，用了14次判定过程\(ak=N?\)
\(a=3，N=28\), 这里需要注意，k=10开始其实已经没有必要进行下去了，但是，对于这个算法来说，还没有终结；知道k=29时，这个算法才结束，得到false值，这一共运转了29次判定过程\(ak=N?\)
最好的情况发生在\(a=28,N=28\)，只用了1次判定；
最糟糕的情况就是出false的时候，29次判定；
所以这个算法的执行效率十分依赖输入。
我们来考虑一个情况：
29是不是28的约数？
\(a=29,N=28\)按照这个算法来说，也需要29次判定。这不太有效率。
而且，我们认定了一个自然数的约数满足\(a\le N\)；这样一个前提，这个前提在我们的算法里面还没有体现出来,那么用这个条件加一个判定过程\(a\le N\)？就加在初始输入之后：
这一改进，把所有类似
\(a=29,N=28;\)
\(a=30,N=28\)
给缩减到1次判定，而不是之前的29次。
就是说算法可以通过增加适当判定过程来改变运行性能，我们实验出了这样一个结论，虽然没有严格的证明，但是直觉上来说，这是可行的。
之前我们提到了对于：
\(a=3，N=28\), k=9是最好的边界，超过9的k被归纳法给终结掉了，所以，这个9是怎么计算出来的，28/3得到的最大整数就是9，如果有整除运算，直接28整除以3就可以得到了，如果不支持整除运算，用28/3的结果向下取整，也可以得到9。
向下取整的符号一般用去掉头的方括号，\(\lfloor a \rfloor\)表示a向下取整。
那么我们现在对于这个最好的边界就可以用这样的符号记录：$ \lfloor \frac{N}{a} \rfloor$
现在我们将算法的图再修改一下：
分，第二次是绿色部分。
第二次的修改影响的是得出false的结果，从之前需要重复判定的N+1次，降到$ \lfloor \frac{N}{a} \rfloor$次。
比如对于，\(a=3，N=28\)，从29次降到了9次。
类似，对于\(a=13,N=28\),从29次降到了2次。
同样，我们观察一些特殊的情况：
\(a=15,N=28\), 1次判定，结果false；
\(a=16,N=28\), 1次判定，结果false；
\(a=17,N=28, 1次判定，结果false；\)
\(a=18,N=28, 1次判定，结果false；\)
\(a=19，N=28, 1次判定，结果false；\)
....
\(a=26,N=28\), 1次判定，结果false；
\(a=27,N=28, 1次判定，结果false；\)
这些情况有什么特殊性，因为依靠这个算法，只需要1次判定，结果就出来了，而且结果是false。
仔细观察这些情况特别是以为\(a\)都超过了自然数\(N\)的一半。那么我们总结出一个结论，超过自然数一半的数（除开这个自然数本身之外）不可能会是这个自然数的约束。
也就是所约数a，自然数N，要满足\(a\leq \frac {N}{2}\),更准确说法是\(a\neq N时a\leq \lfloor\frac {N}{2}\rfloor\)
我们可以依靠这个,消除我们算法里面冗余的步骤；
现在这个条件被我们应用到我们的算法图里面：
这次修改的是蓝色部分的内容，这个作用直接大于自然数一半以上的约数，只用一次判定就结束了，不需要走过我们的迭代过程，但是实际上如果用了\(k= \lfloor \frac{N}{a} \rfloor\)?这个修改后的判定过程，消除的只是\(ak=N？\)这一过程的计算，省了这一步，但是又多了另外一个判定过程\(a=N?\)没有多大的改进。
这样经过几次对于判定过程的修改，其中，最重要的是发现了新的边界，然后才想到修改判定过程，所以怎么发现新的边界是对于一个算法进行改善的重要思路。
嗯，代码实现，我最近在用java，等下补充一个java实现。
欧几里得的算法，还没有开始，但是判定约数的算法就是上面的过程。之后再补。
浙公网安备 33010602011771号