计算几何

前言

数学统治直世界！

向量

如果你会高中向量，请直接跳过到叉乘

定义

向量既有大小又有方向，和物理的矢量很像，手写一般用 $\overrightarrow{a}$ 表示，印刷用黑体 $\textbf{a}$ 表示，为了好看，我们采用手写方式
以下有一些关于向量的概念和特殊向量的定义

模

就是向量长度，$\overrightarrow{a}$ 的模用 $\mid \overrightarrow{a} \mid$ 表示

共线向量

两向量所在直线重合或者平行

垂直向量

两向量所在直线垂直

相反向量

两向量大小相等，方向相反

单位向量

模长为 $1$ 的向量

零向量

模为零的向量，方向无法确定

方向向量

直线平行的任意非零向量，用来表示这条直线的方向

运算

加减

加法

将向量首尾相接
$e.g.$

\[\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} \]

减法

减法相当于是一个向量加一个向量的反向量
$e.g.$

\[\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} \]

数乘

数乘是向量乘数，直接乘

\[\overrightarrow{a} \times \lambda = \lambda\overrightarrow{a} \]

点乘

点乘又称数量积，是向量乘向量，用 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ 表示（$a,b$ 不一样高太丑了所以用 $a,c$），结果是数，几何意义是一个向量在另一个向量上的投影长

点乘运算如下

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = \mid \overrightarrow{a} \mid \times \mid \overrightarrow{c} \mid \times \cos \left\langle \> \overrightarrow{a},\overrightarrow{c} \> \right\rangle \]

其中，$\cos \left\langle \> \overrightarrow{a},\overrightarrow{c} \> \right\rangle$ 表示 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 的夹角的 $\cos$ 值

叉乘

叉乘又称叉积，外积，用 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}$，结果是向量，几何意义是两向量由平行四边形法则围成的面积（不知道平行四边形法则的可以有求 $bing$）
叉乘有正负，具体判法依据右手定则，形象化地，有两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{c}$，右手四指从 $\overrightarrow{a}$ 转向 $\overrightarrow{c}$ 且转角 $<\pi$ 时，大拇指方向就是叉乘结果的方向，若大拇指向上就是正，反之为负
$e.g.$

2026-10-06 19-46-30屏幕截图

其中 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} > 0$
叉乘运算如下

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \mid \overrightarrow{a} \mid \times \mid \overrightarrow{c} \mid \times \sin \left\langle \> \overrightarrow{a},\overrightarrow{c} \> \right\rangle \]

向量的坐标表示

向量是可以用坐标表示的，如图

2026-10-06 20-17-03屏幕截图

$\overrightarrow{a}$ 向量就被表示成 $(x,y)$，$\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt {x^2 + y^2}$

运算

在坐标意义下，运算就很容易了

加减法

$\overrightarrow{a} = (x_1,y_1),\overrightarrow{c} = (x_2,y_2)$，那么

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = (x_1+x_2,y_1+y_2) \]

\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} = (x_1-x_2,y_1-y_2) \]

数乘

$\overrightarrow{a} = (x_1,y_1),\lambda \in R$，那么

\[\overrightarrow{a} \times \lambda = (\lambda x_1,\lambda y_1) \]

点乘

$\overrightarrow{a} = (x_1,y_1),\overrightarrow{c} = (x_2,y_2)$，那么

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = x_1x_2 + y_1y_2 \]

叉乘

$\overrightarrow{a} = (x_1,y_1),\overrightarrow{c} = (x_2,y_2)$，那么

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = x_1y_2−x_2y_1 \]

如果你会立体几何，那我们可以用叉乘求平面法向量，因为叉乘的结果垂直于两向量
$\overrightarrow{a} = (a_x,a_y,a_z),\overrightarrow{c} = (c_x,c_y,c_z)$，那么这两点的叉乘结果为：

\[(a_yc_z − a_zc_y,a_zc_x − a_xc_z,a_xc_y − a_yc_x) \]

那你直接有法向量
向量到这了，呼呼呼

交点，距离，位置

点与直线的位置关系

已知一条直线的方向向量 $\overrightarrow{a}$ 和一个在这条直线上的点 $m$ 以及一个直线外的点 $n$，求 $n$ 在直线的左侧还是右侧
这个挺好做，将 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{mn}$ 然后判正负就行

两条线段位置关系

平行或重合好判，不说了，关键是是否相交

快速排斥实验与跨立实验

这俩可以方便判断两条线段是否相交

快速排斥实验

每一条线段都有一个“影响范围”，如下

2026-10-06 20-33-52屏幕截图

这俩线段的“影响范围”没有相交，所以这俩线不交，这就是快速排斥实验，不过可能判不全，比如：

2026-10-06 20-35-46屏幕截图

跨立实验

我们知道一条线段与另一条线段相交，一条线左右端点会居于另一条线的两侧，我们依据此进行判断，这就是跨立实验，注意：两条直线的端点都必须位于另一条线的两侧，同样，这个也会判不全，所以我们需要将快速排斥实验与跨立实验结合用

点与多边形关系

光线投射算法

说白了就是从点引射线，与多边形交偶数个点就在外部，奇数个就在内部

2026-10-06 20-41-05屏幕截图

不过对于边自交的多边形并不适用
还有一个回转数算法，不会。。。

两直线交点坐标

你可以构建一次函数用解析几何的方法直接解方程，不过我们是基于线性代数的，和解析几何不属于一个区域，可能在扩展性上有一些问题
我们构建三角形，通过正弦定理求解

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\[T=\frac{\mid \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{c}\mid}{\mid\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\mid}=\frac{\mid\overrightarrow{u}\mid\sin \theta}{\mid\overrightarrow{a}\mid\sin \phi} \]

然后，我们用 $C$ 点减去 $T \>\overrightarrow{a}$ 就是坐标

直线与圆

你仍然可以用解析几何做
若有两交点，求出两交点的中点，加半个弦长

2026-10-06 21-00-07屏幕截图

圆与圆

~~解析几何强强？！~~
将一圆圆心与交点相连，求出两圆心连线与该连线所成角，得到方向向量，沿方向向量方向将圆心平移半径长度即可得到一个交点，另一个同理

2026-10-06 21-02-11屏幕截图

距离

我们先介绍一下距离

欧几里得距离

就是我们学的，两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，距离为 $\sqrt {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

曼哈顿距离

两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，距离为 $\mid x_1 - x_2 \mid + \mid y_1 - y_2 \mid $
给张图

2026-10-06 21-08-41屏幕截图

曼哈顿距离可以有效保证距离是整数，并且经过任何点的 $x$ 到 $y$ 曼哈顿距离都不小于直接 $x$ 到 $y$

切比雪夫距离

两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，距离为 $\max{(\mid x_1 - x_2 \mid , \mid y_1 - y_2 \mid )}$
还是画图

2026-10-07 06-48-49屏幕截图

曼哈顿距离和切比雪夫距离是可以互相转化的
我们先构建平面直角坐标系，找到曼哈顿距离和切比雪夫距离分别为 $1$ 的点

2026-10-07 06-55-35屏幕截图

你发现其有对应关系
$(x,y) \to (x + y, x - y)$，$Manhattan \to Чебышев$
$(x,y) \to (\dfrac{x + y}{2},\dfrac{x - y}{2})$，$Чебышев \to Manhattan$

闵可夫斯基距离

这个没听过，好像只有在闵和见过，以后学闵和再说，先搞定义
对于一个 $n$ 维的两点 $(x_1,x_2,\dots,x_n),(y-1,y_2,\dots,y_n)$，有距离：

\[\left(\sum_{i=1}^n \left\vert x_i - y_i \right\vert ^p\right)^{\frac{1}{p}} \]

当 $p=1$ 时为曼哈顿距离
当 $p=2$ 时为欧几里得距离
当 $p \to \infty$ 时为切比雪夫距离

面积

多边形面积

将多边形 $p_1,p_2,\dots,p_n$ 分成若干个三角形，称为三角剖分，选择一个点 $O$，并令 $v_i =p_i − 𝑂$，有：

\[S= \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^n \overrightarrow{v_i} \times \overrightarrow {v_{i+1(\bmod n)}} \right| \]

凸包

进行一个凸包的讲

凸多边形

所有内角大小都在 $[0,\pi]$ 的简单多边形

二维凸包

我们形象化地说，就是在一个木板上钉钉子，然后用橡皮筋套上，就是凸包，画图

2026-10-07 07-08-47屏幕截图

里面的点不在边上
换种说法，就是找到周长最小的多边形使所有点都被包含
求法有两种，我们先口胡

$Andrew$

$Andrew$ 算法实现依据单调栈，分开处理上下凸包，为啥等会说，具体做法是：

按照 $x$ 为第一关键字，$y$ 为第二关键字排序，最小的元素和最大的元素一定在凸包上
下半部分，我们要让斜率尽可能地小，通过单调栈维护两条线段的斜率问题
上半同理

你发现会有一些点是要求斜率小，一些要求大，所以我们分开处理，再统计点的个数

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ld long double
#define pdd pair<ld,ld>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
constexpr int maxn=1e5+10;
int n;
pdd a[maxn];
pdd stk[maxn];
int top;
int chk(int top,int i)
{
    return
        (a[i].se-stk[top].se)*
        (stk[top].fi-stk[top-1].fi)>=
        (stk[top].se-stk[top-1].se)
        *(a[i].fi-stk[top].fi);
}
ld dou(ld x) {return x*x;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%Lf%Lf",&a[i].fi,&a[i].se);
    sort(a+1,a+1+n,[](pdd x,pdd y) {return x.fi == y.fi ? x.se<y.se : x.fi<y.fi;});
    stk[++top]=a[1];
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        while (top>1 && chk(top,i)) top--;
        stk[++top]=a[i];
    }
    ld ans=0.0;
    for (int i=2;i<=top;i++)
        ans+=sqrt(dou(stk[i].fi-stk[i-1].fi)+dou(stk[i].se-stk[i-1].se));
    stk[top=1]=a[n];
    for (int i=n-1;i;i--)
    {
        while (top>1 && chk(top,i)) top--;
        stk[++top]=a[i];
    }
    for (int i=2;i<=top;i++)
        ans+=sqrt(dou(stk[i].fi-stk[i-1].fi)+dou(stk[i].se-stk[i-1].se));
    printf("%.2Lf\n",ans);
    return 0;
}

$Graham$

$Graham$ 算法和 $Andrew$ 算法相似
选择纵坐标最小的点，这个点一定在凸包上
求其他点相对于这个点的极角排序
按照极角序依次尝试加入每一个点到单调栈里
假设连续选三个点 $A,B,C$，有：$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} \ge 0$，单调栈排除不合法点

三维凸包

其实和二维没啥区别，三维凸包相当于是你把一个球任意削去多个面使其没有弧度

闵可夫斯基和

给定两个点集 $A,B$，其闵和为：

\[A + B = \{ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \>\mid\> \overrightarrow{a} \in A, \overrightarrow{c} \in B \} \]

即把每个点都做向量加
当 $A,B$ 都是凸包上的点（后称凸集），那么其闵和也是凸集，且其边集是由凸集 $A,B$ 的边按极角排序后连接的结果
这个东西进行 $DP$ 优化很好用，你发现你的 $DP$ 式子中的东西是凸包，就可以直接上闵和

扫描线

没想到吧这个也是计算几何，毕竟可以维护面积并和周长并
隆重推荐我的扫描线再学习
~~有可能这就是唯一有代码的一章了~~

旋转卡壳

$Rotating\>Calipers$ 算法，翻译叫做旋转卡壳~~所以这玩意怎么念全是多音字~~，可以在线性复杂度内求解凸包直径、最小矩形覆盖

凸包直径

凸包直径：所有点对之间的最长距离
逆时针遍历凸包上的边，对于每条边都找到离这条边最远的点，并随边的旋转不断更新
对最优点的更新，由于我们确定边，那我们可以求待选两个顶点与这条边构成三角形的面积，直接比较大小

最小矩形覆盖

最小覆盖矩形：能够覆盖所有点的最小面积的矩形
我们还是进行旋转卡壳，和上面一样找到最优点，再分别维护左右两侧的点，通过与所选线点乘求投影比较，左右两投影相加就是矩形的另一个边长，这俩相互独立

2026-10-07 09-33-55屏幕截图

后话

代码以后补

posted @ 2026-10-07 08:20 msjing 阅读(4) 评论(1) 收藏举报

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