学习 Top Cluster 树分块（未完成版）

前言

• 为了推一道题还要去学一下树分块。。。
• upd on 2 hours later：斯，学树分块挑了个最难的学。。。
• 参考论文：2021 年信息学奥林匹克中国国家集训队论文：周欣《浅谈一类树分块的构建算法及其应用》

树收缩

• 对于这种树分块，我们需要先学树收缩理论
• 树收缩，就是把树收缩，在 \(Top\>\>Tree\) 里极为常用但是msjing没学过
• 斯，好像必须学 \(Top\>\>Tree\)
• 树收缩有两个操作，\(compress\) 和 \(rake\)

\(compress\)

• 对于一个出度为 \(2\) 的点 \(x\)，其连向的点为 \(y\) 和 \(z\)，那我们可以将 \(y - z\) 连边，将 \(x,x - y,x - z\) 的信息全部统计到 \(y - z\) 边里，删去 \(x,x - y,x - z\)

• trdraw 神中神

\(rake\)

• 对于一个度数为 \(1\) 的点 \(x\)，与其相连的点为 \(y\)，且 \(y\) 的度数大于 \(1\)，\(y\) 有一个临点 \(z\)，那我们把 \(x,x - y\)，的信息全部统计到 \(y - z\) 边里去，删去 \(x,x - y\)

• 现在讲完了树收缩的操作，我们发现任何一棵树都可以用树收缩来缩成两个点加一条边

簇

• 基于树收缩，我们有关于簇的定义
• 不过在这之前，我们可以先探讨一下树收缩过程中的一个边包含的信息
• 还是那上面的图说

• 紫边包含了原树中框的所有信息，我们发现框住的部分是联通的，我们发现一个收缩的树的每一条边对于原树来说都是一个联通子图，我们称这样的联通子图为簇
• 但是我们再看看上图的紫框，你会发现 \(1 - 2\) 被框分割开了，\(2\) 不被簇包含，这样的点我们称为端点，被簇包含的点称为内点，被簇包含的边称为内边

一个树簇（\(cluster\)）是树上的一个连通子图，有至多两个点和全树的其他位置连接
这两个结点被称做界点（\(boundary\>\>node\)），不是界点的点被称做内点（\(internal\>\>node\)）
—— \(from\>\>thesis\)

• 对于两个端点的路径称之为簇路径

这两个界点之间的路径被称做簇路径（\(cluster\>\>path\)）
—— \(from\>\>thesis\)

• 对于原树的所有边，由于只包含自己的信息，称为基簇，对于最后收缩完成的那一条边，称为根簇
• 你会发现上面提到的树收缩其实就是簇的合并
• 我们发现簇的合并会产生一个二叉树，节点表示簇，其儿子表示进行 \(compress/rake\) 操作的两个簇，这样的二叉树称为 \(Top\>\>Tree\)
• 艹我把画的图擦了

• 不过 \(Top\>\>Tree\) 以后再说，我们先搞树分块

树分块（未完成）

• 终于开始树分块了。。。
• 学会了树收缩，树分块就很好弄了
• 大家一直在寻找一个在树上做分块的方式时复杂度正确，但是要么被卡，要么复杂度劣，所以介绍一种基于树收缩理论的分块方式：\(Top\>\>Cluster\) 树分块
• 这好像是最优的树分块
• 接下来就是读论文环节了，建议自己读，我就不粘论文了
• sbmqwm：你这和没讲有啥区别
• msjing：读懂了再来，先去学树上撒点的树分块，这个有点难，对了你放多久
• sbmqwm：明天走

后话

• 欸woc学错了。。。这个太难了。。。