P3330 [ZJOI2011] 看电影 题解

前言

• 非常好的思维题，使我的 \(Python\) 能力提升

\(solve\)

• 神仙思维题
• 可以先判掉 \(n > k\)，一定不合法
• 首先我们考虑总方案数，因为你本来求概率就要比上一个方案数
• 方案数就是 \(n\) 个人在 \(k\) 个位置随便坐，就是 \(k^n\)
• 然后考虑合法方案数
• 你发现这个只向右进行到头停止非常难弄，因为你并不知道那些地方有人、哪些没人、随机到的位置的后面到尾巴有没有空座位
• 所以我们设法解除这个限制
• 我们加一个虚空座位 \(k+1\)，令其与 \(1\) 相连，即将 \(1\) 到 \(k\) 个座位通过 \(k+1\) 接成一个环
• 然后我们直接加入人，由于 \(k+1\) 的存在，即使在原限制存在的情况下也会有地方坐，所有人都有坐
• 那这不就没法算合法情况了吗
• 一个方案合法，当且仅当这个方案中 \(k+1\) 没人坐为合法，那我们可以从这里下手
• 我们忽略位置编号，所有方案数有 \((k+1)^{n-1}\) 种，因为我们忽略了编号，在所有 \((k+1)^n\) 的情况中，会有在环里完全一致的情况（因为是环，可能的断点有 \(k+1\) 个），所以除一个 \(k+1\)，即 \({(k+1)^n} \over {k+1}\)
• 然后对于合法的情况，上面说了 \(k+1\) 不能有人，所以我们直接在环里选一个空位置当 \(k+1\)，此时方案必定合法，在 \(k+1\) 个位置坐了 \(n\) 个，剩下 \(k+1-n\) 个，合法方案数为 \((k+1)^{n-1} \times (k+1-n)\)
• 所以答案为

\[x = (k+1)^{n-1} \times (k+1-n)\>,\>\>y = k^n \]

\[x \over y \]

• 然后最抽象的来了，柿子很简单，但是没取模，这玩意要上高精
• 高精是不可能高精的，这辈子都不可能高精的
• 所以我们用 \(Python\) 直接创
• \(10\) 行

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import math
T=int(input())
for i in range(T) :
    n,k=map(int,input().split())
    if n>k :
        print("0 1")
        continue
    x=(k+1)**(n-1)*(k+1-n);y=k**n
    g=math.gcd(x,y)
    print(x//g,y//g)