P5355 [Ynoi Easy Round 2017] 由乃的玉米田 题解

前言

• 怎么明天还有模拟赛啊啊啊啊啊啊啊啊啊算了来道 DS

正文

• 嗷嗷嗷嗷嗷嗷嗷嗷呜呜呜呜呜
• sbmqwm：模拟赛给我msjing打成啥子了
• 其实有一道题就只有前三个操作，就是这个，msjing写完弱化后咕咕咕了好久才写这题
• 难点在除法
• 不会根号分治的请学一下，不过弱化版用不到

减法

• 加减真好难理解啊，加上还鸽了这么久，呼呼呼
• 欸我不会理解错了吧
• sbmqwm：不好说，建议大家这段去正规题解处看，msjing打完模拟赛还没缓过来
• 设选出的两个数为 \(a\) 和 \(b\)，我们暂且不管这两个数的大小关系（懒），会有 \(a - b = x\)
• 这个显然没法很好地做，我们移项，有：

\[a = b + x \]

• 你发现这个就还好
• 我们开一个 \(bitset\) 来统计一个数是否出现过，设为 \(nw1\)，用 \(bitset\) 是方便做与运算并创掉 \(64\) 的常数以及方便一些诡异操作
• 我们发现将这个 \(bitset\) 左移 \(x\) 位，就可以使表示 \(b\) 存在变成表示 \(b + x = a\) 存在，将移位前后的 \(nw1\) 做一个与运算（\(b\) 和 \(b + x = a\) 同时出现为 \(1\)），有 \(1\) 合法，没 \(1\) 不合法
• 对了，\(bitset\) 有一个 any() 可以直接得是否有 \(1\)，但msjing用的 count()，可以试一下

加法

• 类比减法，我们再开一个 \(bitset\)，但是维护方式与减法不同
• 我们先看看需要做什么
• \(a + b = x\) 可以转化为 \(a = x - b\)，欸，你发现需要维护 \(b\) 和 \(x - b\)
• 我们发现这个东西不好弄，尤其是 \(-b\)，我们可以让 \(b' = maxm - b \>\>\> (maxm = 10^5)\)，用一个新的 \(bitset\) 维护 \(b'\)，设为 \(nw2\)，柿子变成：\(a = b' + x - maxm\)，我们就可以让 \(nw2\) 右移 \(maxm - x\) 并与 \(nw1\) 做与运算，同上判断
• 加减法复杂度（没算错的话）是 \(O(\frac{n^2}{\omega} + n \sqrt n)\)，\(n\)，\(m\) 同阶，后续复杂度都以 \(n\) 表示

乘法

• 乘法就好理解了
• 我们知道一个数 \(x\) 的约数不会超过 \(\sqrt x\)，所以直接暴力枚举所有约数，若大小约数都在 \(nw1\) 中表示为 \(1\)（出现过），则直接停止枚举，答案合法，如果枚举完没成立的，答案不合法
• 乘法复杂度是 \(O(n \sqrt n)\)，可能吃不满

除法

• 最难的来了
• 我们发现这个东西根本做不了，先想想暴力
• 我们可以尝试直接枚举除数，设为 \(j\)，如果 \(j \times x\) 在值域 \(maxm\) 内就是合法的，所以就可以通过 \(nw1\) 检查 \(j\) 和 \(j \times x\) 是否出现过了
• 但是这只是一个纯暴力，显然复杂度不对
• 我门尝试将这个暴力的复杂度控制在 \(O(n \sqrt n)\) 内，本身没法优化，只能减少枚举次数
• 想到根号分治
• 我们在 \(x > \sqrt {maxm}\) 的时候直接暴力做，别的等会考虑
• 复杂度是 \(O(n \sqrt n)\)
• 枚举貌似不可避免，那就枚举，反正前半段是 \(\sqrt n\) 的，相同的 \(x\) 直接一起枚举
• 我们考虑一个位置 \(i\)，能有贡献的是 \(a_i \times x\) 和 \(a_i \>÷\> x\)，当然，\(a_i \times x\) 成立要求 \(a_i \times x \le maxm\)，\(a_i \>÷\> x\) 成立要求 \(x \mid a_i\)
• 我们要统计对于 \(i\) 这个点，合法的 \(j\) 出现位置最大的地方，为什么等会就知道了，我们设这个数组为 \(g\)，我们为了知道 \(a_i \times x\) 和 \(a_i \>÷\> x\) 出现的位置，需要记录一下一个数 \(k\) 最后出现的位置，记为 \(pre_k\)
• 实现的话，先让 \(pre_{a_i} = i\)，然后查看 \(a_i \times x\) 和 \(a_i \>÷\> x\) 是否合法，合法更新，最后对于一个询问 \([l,r]\)，若 \(l \le g_r\)，答案合法，反之不合法
• 复杂度是 \(O(n \sqrt n)\)
• 总复杂度是 \((\frac{n^2}{\omega} + n \sqrt n)\)

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define lb lower_bound
#define pb push_back
#define ph push
#define be begin()
#define ed end()
using namespace std;
constexpr int maxn=1e5+10,maxm=1e5;
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9')
    {
        if (ch == '-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int n,m;
int a[maxn];
struct _ {int op,l,r,x,id;}q[maxn];
vector<_> qu[maxn];
int L[maxn],R[maxn],pos[maxn];
bitset<maxn> nw1,nw2;
int col[maxn];
int pre[maxn],g[maxn];
void init()
{
    int b=n/(sqrt(m))+1;
    int cnt=n/b;
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
        L[i]=b*(i-1)+1,R[i]=b*i;
    if (R[cnt]<n)
        cnt++,L[cnt]=R[cnt-1]+1,R[cnt]=n;
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
        for (int j=L[i];j<=R[i];j++)
            pos[j]=i;
}
void add(int x)
{
    if (!col[x]) nw1.set(x),nw2.set(maxm-x);
    col[x]++;
}
void del(int x)
{
    col[x]--;
    if (!col[x]) nw1.reset(x),nw2.reset(maxm-x);
}
int ans[maxn];
signed main()
{
    n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int op=read(),l=read(),r=read(),x=read();
        q[i]={op,l,r,x,i};
    }
    // cerr << "--------------" << endl;
    init();
    // cerr << "--------------" << endl;
    sort(q+1,q+1+m,[](_ a,_ b)
    {return pos[a.l] == pos[b.l] ?
     (pos[a.l]&1) ? a.r<b.r : a.r>b.r :
     pos[a.l]<pos[b.l];});
    int l=1,r=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        // cerr << i << " ";
        int x=q[i].x;
        while (l>q[i].l) add(a[--l]);
        while (r<q[i].r) add(a[++r]);
        while (l<q[i].l) del(a[l++]);
        while (r>q[i].r) del(a[r--]);
        if (q[i].op == 1)
        {
            if ((nw1&(nw1<<x)).count())
                ans[q[i].id]=1;
        }
        else if (q[i].op == 2)
        {
            if ((nw1&(nw2>>(maxm-x))).count())
                ans[q[i].id]=1;
        }
        else if (q[i].op == 3)
        {
            for (int j=1;j*j<=x;j++)
                if (!(x%j))
                    if (nw1[j] && nw1[x/j])
                    {
                        ans[q[i].id]=1;
                        break;
                    }
        }
        else
        {
            if (q[i].x>sqrt(maxm))
                for (int j=1;j*q[i].x<=maxm;j++)
                    if (nw1[j] && nw1[j*q[i].x])
                    {
                        ans[q[i].id]=1;
                        break;
                    }
        }
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
        if (q[i].op == 4 && q[i].x<=sqrt(maxm))
            qu[q[i].x].pb(q[i]);
    for (int x=1;x<=sqrt(maxm);x++)
    {
        if (qu[x].empty()) continue;
        memset(pre,0,sizeof(pre));
        memset(g,0,sizeof(g));
        int lt=0;
        for (int i=1;i<=maxm;i++)
        {
            pre[a[i]]=i;
            if (a[i]*x<=maxm)
                lt=max(lt,pre[a[i]*x]);
            if (!(a[i]%x))
                lt=max(lt,pre[a[i]/x]);
            g[i]=lt;
        }
        for (_ c:qu[x])
            ans[c.id]=c.l<=g[c.r] ? 1 : 0;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
        ans[i] ? puts("yuno") : puts("yumi");
    return 0;
}

后话

• 啊啊啊啊啊嗷嗷嗷嗷嗷嗷嗷嗷
• sbmqwm：哎