FHQ-Treap 学习笔记

前言

• Super_lollipop教大家学平衡树，msjing已严肃学习qwq
• sbmqwm：你真学会了吗
• msjing：555我真学会了

介绍

• 平衡树有大量的写法，代表有 \(Treap\)，\(Splay\)，替罪羊树等，msjing学的是无旋 \(Treap\) 其实msjing还学了平板电视
• \(Treap\)，平衡树的一种，依据 \(BST\) 和 \(Heap\) 实现，不像有旋 \(Treap\) 一样需要依据旋转维护平衡
• \(FHQ\)-\(Treap\)，是一种无旋的 \(Treap\) 且是非常常用的，是一个单 \(\log\) 但是常数飞起来

实现及维护

• \(FHQ\)-\(Treap\) 的实现依据堆性质和 \(BST\)，先说 \(BST\)

\(BST\)

• \(BST\)，全称二叉搜索树，其左子树上所有点的附加权值均小于其根节点的值，右子树上所有点的附加权值均大于其根节点的值， 就是中序遍历是有序的
• 那么我们发现 \(BST\) 上可以做很多东西，但是由于 \(BST\) 不保证树高，即不保证平衡，因此所有的操作都是 \(O(H)\) 的，其中 \(H\) 为树高，那么我们发现，\(BST\) 可能退化成链，就太长了
• 所以我们利用堆来维护
• 如何利用堆来维护呢

堆

• 堆就不必多说了，priority_queue 都用过吧，这就是堆了
• 那么我们如何利用堆让树平衡呢，我们可以直接 \(rand\) 一个值给每个节点，按堆和 \(BST\) 的要求搞一下，然后就行了
• 从oiwiki偷张图吧，woc偷不了
  
• sbmqwm：图都能贺啊msjing你无敌了
• 黑色字的是 \(BST\) 的，蓝色的是堆的
  然后经过一阵 \(nb\) 的复杂的证明，可以证得树高是 \(log_n\) 的，树高保证了，我们就可以搞许多东西了

\(Split\) & \(Merge\)

• \(Split\) 和 \(Merge\) 是 \(FHQ\) 重要的维护平衡的操作，也是前面说的与别的平衡树不一样的地方（由于树的结构是确定的），是全部操作的基础

\(Split\)

• \(Split\) 操作主要是依据 \(v\) 把树分裂成小于等于 \(v\) 和大于 \(v\) 两部分，具体怎么实现呢
• 首先我们先搞两个滚木虚空节点，利用取地址符来直接对这两个点改动
  • msjing：我真的会取地址
• 然后依据 \(v\) 向下递归，遇到比 \(v\) 小或等的就直接把这个点和它的左子树全塞到左边的虚空节点上，左边的虚空节点改为这棵树的右儿子，并递归这个点的右儿子，遇到大的同理，这是依据 \(BST\) 的性质做的，很难理解，再偷张图
  
• sbmqwm：如果觉得msjing讲的不清，请前往这里学一下，msjing也是学的这个，我去紫菜一下msjing
• 一段美好的时光，请脑补
• msjing：sbmqwm又欺负我555
• 回归正题，这样做就可以分开树了，实现是贺的\(Super\)_\(lollipop\)的，给一下吧

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void Split(int now,int v,int &x,int &y)
{
	if (!now) return x=y=0,void();
	if (val[now]<=v) x=now,Split(rs[now],v,rs[now],y);
	else y=now,Split(ls[now],v,x,ls[now]);
	Pushup(now);
}

• 里面的Pushup等会再说

\(Merge\)

• \(Merge\)操作是把分出两棵树合并，具体如何合并呢
• 由于我们分出的两棵树有：左子树小于右子树的性质且区间不交，故仅需搞一下我们随机出来的值就行，所以合并依据随机出来的 \(rnd\)
• 什么是区间不交，我们看上图，左子树表示区间 \([1,5]\)，右子树则是 \([6,7]\)，这就是区间不交
• 再粘一遍要不然看得费劲
  
  
• 我们看两张图上图（后图也是那篇文章的图），已经分裂好的两棵树（\(rnd\) 以下图为准），其根分别为 4 和 6，发现 \(rnd_4 < rnd_6\)，所以 6 应该在 4 的下面，并向下递归其右子树到达 5，发现 \(rnd_5 > rnd_6\)，所以 5 应该在 6 的下面，所以 5 成为 6 的儿子，6 成为 4 的儿子，就还原成上图了
  
• 至此两个关键操作就搞完了

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int Merge(int x,int y)
{
	if (!x || !y) return x|y;
	if (rnd[x]<rnd[y])
	{
		rs[x]=Merge(rs[x],y);
		Pushup(x);
		return x;
	}
	else
	{
		ls[y]=Merge(x,ls[y]);
		Pushup(y);
		return y;
	}
}

其他操作

\(New\)

• 新建一个节点，好搞，记得再 \(rd\) 一个权值就行

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int New(int v)
{
	tot++,val[tot]=v,rnd[tot]=rd(),siz[tot]=1;
	return tot;
}

\(Pushup\)

• 上传，和线段树很像，目的是得到 \(siz\)

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void Pushup(int x) {siz[x]=siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1;}

\(Insert\)

• 加入一个点，直接依据加的点把树裂开加然后和就行了常数起飞了

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void Insert(int a)
{
	int x,y;
	Split(root,a,x,y);
	root=Merge(Merge(x,New(a)),y);
}

\(Delete\)

• 删除同理，把树分裂踢出这个点再合并就行

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void Delete(int v)
{
	int x,y,z;
	Split(root,v,x,z);
	Split(x,v-1,x,y);
	y=Merge(ls[y],rs[y]);
	root=Merge(Merge(x,y),z);
}

\(fid\) 全家桶

\(fid\)_\(kth\)

• 找 \(k\) 的排名，递归找，如果左儿子的个数比 \(k\) 小，让 \(k - siz_{ls_x} - 1\)，然后递归进入右子树，否则递归进入左子树。当 \(k = siz_{ls_x}\) 的时候就找到这个值了

\(fid\)_\(siz\)

• 找位置，暴力拆树算然后和树

\(fid\)_ \(prev\) & \(fid\)_\(nxt\)

• 查前驱后继，暴力拆树，前驱按 \(<v\) 和 \(\ge v\) 拆，左子树的第 \(siz_x\) 大（最大的）就是了，后继同理，按 \(\le v\) 和 \(> v\) 拆，右子树第一小就是

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int fid_kth(int x,int k)
{
	while (1)
	{
		if (k<=siz[ls[x]]) x=ls[x];
		else if (k == siz[ls[x]]+1) return x;
		else k-=(siz[ls[x]]+1),x=rs[x];
	}
}
int fid_siz(int v)
{
	int x,y;
	Split(root,v-1,x,y);
	int k=siz[x]+1;
	root=Merge(x,y);
	return k;
}
int fid_prev(int v)
{
	int x,y;
	Split(root,v-1,x,y);
	int tmp=val[fid_kth(x,siz[x])];
	root=Merge(x,y);
	return tmp;
}
int fid_nxt(int v)
{
	int x,y;
	Split(root,v,x,y);
	int tmp=val[fid_kth(y,1)];
	root=Merge(x,y);
	return tmp;
}

• \(kth\) 中这么做就是对的，我不会证，哎sbmqwm你别搞我
• 又是一段美好的时光

总代码

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int n,root;
namespace fhq
{
	mt19937 rd(time(0));
	int val[maxn],siz[maxn],rnd[maxn],tot,ls[maxn],rs[maxn];
	void Pushup(int x) {siz[x]=siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1;}
	void Split(int now,int v,int &x,int &y)
	{
		if (!now) return x=y=0,void();
		if (val[now]<=v) x=now,Split(rs[now],v,rs[now],y);
		else y=now,Split(ls[now],v,x,ls[now]);
		Pushup(now);
	}
	int Merge(int x,int y)
	{
		if (!x || !y) return x|y;
		if (rnd[x]<rnd[y])
		{
			rs[x]=Merge(rs[x],y);
			Pushup(x);
			return x;
		}
		else
		{
			ls[y]=Merge(x,ls[y]);
			Pushup(y);
			return y;
		}
	}
	int New(int v)
	{
		tot++,val[tot]=v,rnd[tot]=rd(),siz[tot]=1;
		return tot;
	}
	void Insert(int a)
	{
		int x,y;
		Split(root,a,x,y);
		root=Merge(Merge(x,New(a)),y);
	}
	int fid_kth(int x,int k)
	{
		while (1)
		{
			if (k<=siz[ls[x]]) x=ls[x];
			else if (k == siz[ls[x]]+1) return x;
			else k-=(siz[ls[x]]+1),x=rs[x];
		}
	}
	int fid_siz(int v)
	{
		int x,y;
		Split(root,v-1,x,y);
		int k=siz[x]+1;
		root=Merge(x,y);
		return k;
	}
	int fid_prev(int v)
	{
		int x,y;
		Split(root,v-1,x,y);
		int tmp=val[fid_kth(x,siz[x])];
		root=Merge(x,y);
		return tmp;
	}
	int fid_nxt(int v)
	{
		int x,y;
		Split(root,v,x,y);
		int tmp=val[fid_kth(y,1)];
		root=Merge(x,y);
		return tmp;
	}
	void Delete(int v)
	{
		int x,y,z;
		Split(root,v,x,z);
		Split(x,v-1,x,y);
		y=Merge(ls[y],rs[y]);
		root=Merge(Merge(x,y),z);
	}
};

后记

• msjing还有 \(Splay\) 要学，\(Splay\) 的学习笔记等学会了再写
• 以下是捏造在说话
  • 自？己！屮~自>>>己？？？