插板法虾扯蛋

前言

• TTC_84让wang78学习真的插板法并学习容斥，于是sbmqwm让msjing滚去学，sbmqwm怎么这么坏
• 提示：由于msjing是大飞舞，所以此文基本就是学习笔记了，所以与oiwiki查重率120%
• sbmqwm：大飞舞msjing之前组合数白学了吗；msjing：555窝措了

插板法基础

• 将一个长度为 \(n\) 的序列分成 \(m\) 段非空段，问有几种分法（\(n\) 中元素等价）
• 上述为正整数和的数目，即求 \(\sum\limits_{i=1}^{m}{x_i} = n\) 的正整数解的个数
• 相当于在 \(n-1\) 个空中插入 \(m-1\) 个板，有

$C_{n-1}^{m-1}$

• 这个比较显然的

插板法进阶

• 扩展一下，若改为可空段，问分法
• 上述为非负整数和的数目，即求 \(\sum\limits_{i=1}^{m}{x_i} = n\) 的非负整数解的个数
• 不好搞，我们要转化一下，我们直接虚空掏 \(m\) 个点，这样可以保证不会有空，在这 \(n+m-1\) 个空中插入 \(m-1\) 个板，然后再拿走这 \(m\) 个虚空点，由于元素等价，就有

$C_{n+m-1}^{m-1}$

• 由组合数的性质，上述柿子还为

$C_{n+m-1}^{n}$

插板法再进阶

• 我们进一步扩展，若限制第 \(i\) 组的选的元素的个数，即要求：第 \(i\) 组选 \(a_i\) 个元素，其中 \(\sum a_i \le n\)
• 上述为不同下界整数和的数目，即求 \(\sum\limits_{i=1}^{m}{x_i} = n\) 的解的数目，要求 \(a_i \le x_i\)
• 更难搞，同上处理，先从虚空掏 \(\sum a_i\) 个点出来，保证限制满足，令 \(x_i' = x_i + a_i\)，就有：

$\sum_{i=1}^{m}{x_i'} = n - \sum a_i$

• 此时我们干掉了限制就可以用非负整数和的解个数来求了，有

$C_{n-\sum a_i + m-1}^{n-\sum a_i}$

插板法与容斥结合

• 我们将上面的限制反一下，即 \(a_i \ge x_i\)
• 上述为不同上界整数和的数目（吧？），即求 \(\sum\limits_{i=1}^{m}{x_i} = n\) 的解的数目，要求 \(a_i \ge x_i\)
• 这就要利用容斥搞一下了
• 令 \(\mathbb{U}\) 为 \(\sum\limits_{i-1}^{m}{x_i} = n\) 的非负整数解， \(S_i\) 表示合法解
• 捣鼓一下可以搞出来：

$\left|\bigcap\limits_{i=1}^{m}\right| = |\mathbb{U}| - \left|\bigcup\limits_{i=1}^{m}{S_i}\right|$

• 经过nb的容斥展开，有：
  • 斯，msjing不会，先撂着吧，咕咕咕