导数基础

定义

• \(f(x_0)=\lim\limits_{\triangle x \rightarrow 0} {{\triangle y} \over {\triangle x}}=\lim\limits_{\triangle x \rightarrow 0} {f(x_0+\triangle x - f(x_0) \over \triangle x}\)
• 表示：
  • \(f(x)'\)
  • \(df \over dx\)
• 将极值\(f'(x_0)\)称为函数在\(x_0\)的导数，几何意义为函数在\((x_0,f(x_0))\)的切线斜率
• 可导必连续，连续不一定可导

运算

• \((a±b)'=a'±b'\)
• \((ab)'=a'b+ab'\)（前导后不导，后导前不导）
• \(( {a \over b} )' = {a'b+ab' \over b^2}\) （上导下不导，上不导下导）

常用导数公式

常数

• \((C)'=0\)

幂函数

• \((x^n)'=nx^{n-1}\)

指数函数

• \((e^x)'=e^x\)
• \((a^x)'=a^x \ln a\)

对数函数

• \((\ln x)'={1 \over x}\)
• \((\log_a x)'={1 \over x \ln a}\)

三角函数

• \((\sin x)'=\cos x\)
• \((\cos x)'=-\sin x\)
• \((\tan x)'=sec^2x={1 \over cos^2x}\)

复合函数（链式法则）

• 令：y=f(u)，u=g(x)
• 有：\({dy \over dx}={dy \over du} \cdot {du \over dx}\)
• 或：\([f(g(x))]'=f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
• 与常规复合函数求值相似

判函数的单调性

• 若 f'(x)>0在区间I上恒成立，则f(x)在I上单调递增；若 f'(x)<0，则单调递减

求极值

• 步骤
  • 对\(f'(x)\)求导
  • 对\(f'(x)=0\)求解,求得驻点
  • 判断变化：左正右负 \(\Rightarrow\) 极大值；左负右正 \(\Rightarrow\) 极小值；同号 \(\Rightarrow\) 不是极值

参考网络上多篇文章，侵删