线段树扫描线总结（POJ 1389）
扫描线算是线段树的一个比较特殊的用法，虽然NOIP不一定会考，但是学学还是有用的，况且也不是很难理解。
以前学过一点，不是很透，今天算是搞懂了。
就以这道题为例吧：嘟嘟嘟
题目的意思是在一个二维坐标系中给了很多矩形，然后求这些矩形的总覆盖面积，也就是面积并。
我就不讲暴力，直接切入正题吧。
扫描线，听这个名字就可以想象一下，现在有这么多重叠的矩形，然后有一个线从下往上扫，那么每一时刻这条线上被覆盖的长度之和，就是我们要求的答案。
那么首先可以想到，要把给定的矩形都离线下来，拆成上下来个面，并标记这个矩形从哪开始，从哪结束，最后按x（或y）排好序。
上面的可以算作预处理，接下来才是重点：怎么用线段树维护这个扫描线的覆盖问题？
首先要清楚的是，这并不是单纯的区间覆盖，因为区间覆盖的清空是把这个区间都清零，但是在对于扫线上的一段区间的清空，实际上只是清空了这一层，而他下面那一层应该还保持原样。这该怎么实现呢？
首先需要一个cov标记，表示这个区间被覆盖了几层，那么一个矩形的开始就是多覆盖一层，结束就是减去一层。由此可知，如果cov > 1的话，那么这个区间就全被覆盖了，sum就等于区间长度；那么cov = 0呢？说明这个区间只有一部分被覆盖，sum[now] = sum[now <<1] +sum[now <<1 | 1]。这是为什么就等于左右子区间的和呢？想一下，我们更新的时候，要是更新区间和当前区间一样的话，就停止了，那么他的子区间还是保持了原来的情况。因此我们掀开了这一层，露出来的就是他的子区间那没有被完全覆盖的情况。因此sum[now] = sum[now << 1] +sum[now <<1 | 1].
还有一点，那就是cov永远不会小于0，因为cov--的条件是有一个矩形结束了，那有结束必定有开始，所以一定是先加后减。但有人又会问，如果是别的矩形改变了这个区间的cov值呢？那也同理，也是先加后减。所以cov永远是大于0的。
pushup也一样，cov大于0，则sum就是区间长度，否则是左右子区间的和。
（懒得画图……）
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<cctype> 8 #include<vector> 9 #include<stack> 10 #include<queue> 11 using namespace std; 12 #define enter puts("") 13 #define space putchar(' ') 14 #define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a)) 15 #define rg register 16 typedef long long ll; 17 typedef double db; 18 const int INF = 0x3f3f3f3f; 19 const db eps = 1e-8; 20 const int maxn = 5e4 + 5; 21 inline ll read() 22 { 23 ll ans = 0; 24 char ch = getchar(), last = ' '; 25 while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();} 26 while(isdigit(ch)) {ans = ans * 10 + ch - '0'; ch = getchar();} 27 if(last == '-') ans = -ans; 28 return ans; 29 } 30 inline void write(ll x) 31 { 32 if(x < 0) x = -x, putchar('-'); 33 if(x >= 10) write(x / 10); 34 putchar(x % 10 + '0'); 35 } 36 37 int xl, yl, xr, yr, cnt = 1; 38 struct Node 39 { 40 int L, R, h, flg; 41 bool operator < (const Node &oth)const 42 { 43 return h < oth.h; 44 } 45 }a[maxn << 1]; 46 47 int l[maxn << 2], r[maxn << 2], sum[maxn << 2], cov[maxn << 2]; 48 void build(int L, int R, int now) 49 { 50 sum[now] = cov[now] = 0; 51 l[now] = L; r[now] = R; 52 if(L == R) return; 53 int mid = (L + R) >> 1; 54 build(L, mid, now << 1); 55 build(mid + 1, R, now << 1 | 1); 56 } 57 void update(int L, int R, int flg, int now) 58 { 59 if(L == l[now] && R == r[now]) 60 { 61 cov[now] += flg; 62 if(cov[now]) sum[now] = R - L + 1; 63 else 64 { 65 if(L == R) sum[now] = 0; //别忘判断叶子节点 66 else sum[now] = sum[now << 1] + sum[now << 1 | 1]; 67 } 68 return; 69 } 70 int mid = (l[now] + r[now]) >> 1; 71 if(R <= mid) update(L, R, flg, now << 1); 72 else if(L > mid) update(L, R, flg, now << 1 | 1); 73 else update(L, mid, flg, now << 1), update(mid + 1, R, flg, now << 1 | 1); 74 if(cov[now]) sum[now] = r[now] - l[now] + 1; 75 else sum[now] = sum[now << 1] + sum[now << 1 | 1]; 76 } 77 78 int solve() 79 { 80 build(1, maxn - 1, 1); 81 ll ans = 0; 82 sort(a + 1, a + cnt + 1); 83 for(int i = 1; i <= cnt; ++i) 84 { 85 update(a[i].L, a[i].R, a[i].flg, 1); 86 ans += sum[1] * (a[i + 1].h - a[i].h); 87 } 88 return ans; 89 } 90 91 int main() 92 { 93 while(1) 94 { 95 cnt = 0; 96 bool flg = 0; 97 while(1) 98 { 99 xl = read() + 1; yl = read() + 1; xr = read(); yr = read() + 1; 100 if(!xl && !flg) return 0; 101 else if(!xl) break; 102 else 103 { 104 a[++cnt] = (Node){xl, xr, yl, 1}; 105 a[++cnt] = (Node){xl, xr, yr, -1}; 106 flg = 1; 107 } 108 } 109 write(solve()); enter; 110 } 111 return 0; 112 }
