[BJWC2010]严格次小生成树

传送门


这道题以前我没做明白，今天再看看发现竟然挺好理解的。


首先我们求出最小生成树，这样我们只需要在原树上改动一条边就可以得到次小生成树了。
具体怎么改呢？已经有\(n - 1\)条边参与构成最小生成树了，我们枚举剩下的\(m - n + 1\)条边。记这条边的两个端点为\(x\)和\(y\)，权值为\(w\)，那么我们只要尝试用这条边替换\(x\)到\(y\)的树上路径的其中一条边就行了。值得注意的是，\(w\)一定大于等于路径上的任意一条边，因为如果小于的话，就可以把那条边删了，把\(w\)加进来构成最小生成树。


接下来只要做两件事：记路径上最大的边权为\(w_{max}\)，如果\(w > w_{max}\)，那么直接替换并尝试更新答案；否则只可能\(w = w_{max}\)，那么就要用\(w\)替换路径上的次大值。
这样枚举\(m - n + 1\)条边后，选择替换后的最小值就是答案。


所以我们要做的就是怎么求出路径上的最小值和次小值。
树上的路径，自然会想到拆成\(x\)到lca，和lca到\(y\)的两条路径。那么可以在求lca的倍增数组的时候顺便把最大值和次大值维护出来。
记\(Max[0][i][x]\)表示\(x\)往上\(2 ^ i\)长度的路径中的最大值，\(Max[1][i][x]\)为对应的次大值，现在考虑用\(i - 1\)来更新\(i\)：
对于最大值来说，自然是

\[Max[0][i][x] = max \{Max[0][i - 1][x], Max[0][i - 1][fa[i - 1][x]] \} \]

对于次大值的维护，要比较两个\(i-1\)段的最大值哪一个大：

\[\begin{align*} Max[1][i][x] = max \{Max[1][i - 1][x], Max[0][i - 1][fa[i - 1][x]] \}(Max[0][i-1][x] > Max[0][i - 1][fa[i - 1][x]]) \\ = max \{Max[0][i - 1][x], Max[1][i - 1][fa[i - 1][x]] \}(Max[0][i-1][x] > Max[0][i - 1][fa[i - 1][x]]) \\ = max \{Max[1][i - 1][x], Max[1][i - 1][fa[i - 1][x]] \}(Max[0][i-1][x] = Max[0][i - 1][fa[i - 1][x]]) \end{align*} \]

处理完这些后，我们在求lca的时候就可以仿照倍增的思路求出路径上的最大值和次大值了。


代码实现推荐用一个pair存最大值和次大值。因为无论是预处理还是倍增的时候，求最大值和次大值的逻辑是一样的，所以可以用一个函数封装起来，返回pair类型。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<queue>
#include<assert.h>
#include<ctime>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const ll INF = 1e18;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int maxm = 3e5 + 5;
const int N = 18;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
#endif
}

int n, m;
struct Edge
{
	int nxt, to, w;
}e[maxn << 1];
int head[maxn], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y, int w)
{
	e[++ecnt] = (Edge){head[x], y, w};
	head[x] = ecnt;
}

int p[maxn];
In int Find(int x) {return x == p[x] ? x : p[x] = Find(p[x]);}
In void merge(int x, int y)
{
	int px = Find(x), py = Find(y);
	if(px == py) return;
	p[px] = py;
}

bool vis[maxm];
struct edges
{
	int x, y, w;
	In bool operator < (const edges& oth)const
	{
		return w < oth.w;
	}
}ed[maxm];

#define pr pair<int, int>
#define mp make_pair
#define F first
#define S second
In pr calc(pr a, pr b)
{
	if(a.F == b.F) return mp(a.F, max(a.S, b.S));
	else if(a.F > b.F) return mp(a.F, max(a.S, b.F));
	else return mp(b.F, max(a.F, b.S));
}

int dep[maxn], fa[N + 2][maxn];
pr Max[N + 2][maxn];
In void dfs(int now, int _f)
{
	for(int i = 1; (1 << i) <= dep[now]; ++i)
	{
		fa[i][now] = fa[i - 1][fa[i - 1][now]];
		Max[i][now] = calc(Max[i - 1][now], Max[i - 1][fa[i - 1][now]]);
	}
	forE(i, now, v)
	{ 
		if(v == _f) continue;
		dep[v] = dep[now] + 1, fa[0][v] = now;
		Max[0][v].F = e[i].w;
		dfs(v, now);
	}
}

In pr solve(int x, int y)
{
	pr ret = mp(0, 0);
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	for(int i = N; i >= 0; --i)
		if(dep[fa[i][x]] > dep[y])
		{
			ret = calc(ret, Max[i][x]);
			x = fa[i][x];
		}
	if(fa[0][x] == y) return ret;
	ret = calc(ret, Max[0][x]);
	x = fa[0][x];
	for(int i = N; i >= 0; --i)
		if((fa[i][x] ^ fa[i][y]) || !i)
		{
			ret = calc(ret, calc(Max[i][x], Max[i][y]));
			x = fa[i][x], y = fa[i][y];
		}
	return ret;
}

int main()
{
//	MYFILE();
	n = read(), m = read();
	Mem(head, -1), ecnt = -1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
		ed[i].x = read(), ed[i].y = read(), ed[i].w = read();
	sort(ed + 1, ed + m + 1);
	ll sum = 0, ans = INF;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		int x = ed[i].x, y = ed[i].y, w = ed[i].w;
		if(Find(x) ^ Find(y))
		{
			merge(x, y), sum += w;
			addEdge(x, y, w), addEdge(y, x, w); 
			vis[i] = 1;
		}
	}
	dep[1] = 1, dfs(1, 0);
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
		if(!vis[i])
		{
			pr tp = solve(ed[i].x, ed[i].y);
			if(ed[i].w > tp.F) ans = min(ans, sum - tp.F + ed[i].w);
			else if(ed[i].w == tp.F) ans = min(ans, sum - tp.S + ed[i].w); 
		}
	write(ans), enter; 
	return 0;	
}