[2017清华集训]无限之环
嘟嘟嘟
这算是我做过的最神的一道网络流题了。
话说有人能想到这题用费用流吗
某神仙说，看到网格图，就能想到黑白染色（我就想不到）。那么假设我们现在想到了。
然后用1个流量代表一个管道接口，那么存在解得条件必定是总流量等于接口数除以2。
先想一下不能转动的情况：容易想到拆点，把一个点分别拆成这个点的上、右、下、左接口四个点。然后先把整个图连通，即\((i, j)\)的右接口连\((i, j + 1)\)的左接口，\((i, j)\)的下接口连\((i + 1, j)\)的上接口。注意，因为是黑白染色，源点连向黑点，白点连向汇点，所以如果连边的时候出现白点连黑点，要反过来。
然后对于每一个黑点，从源点向他的每一个存在的接口连一条容量为1，费用为0的边；对于每一个白点，其当前存在的接口向汇点连一条\((1, 0)\)的边。
这样这个不能转动的图就构造完了。
那么每一个点能转动该怎么办？连边的确很巧妙。
通过观察发现，能转动的管道无非三种：
这种情况是最简单的。
向右转90度，那么就从他的上接口向右接口连一条\((1, 1)\)的边；向左转90度，就从上接口向左接口连一条\((1, 1)\)的边；转180度，就从上接口向下接口连一条\((1, 2)\)的边。
那么这种情况也同理。向右转90度，发现向右的接口还在，那么只用从上接口向下接口连一条\((1, 1)\)的边；向左转90度，就从右接口向左接口连一条\((1, 1)\)的边；180度不用再连边了，因为上述两种情况合起来就是转180度！
后一种情况想想也就出来了：从左、有接口向下接口连一条\((1, 1)\)的边，从上接口向下接口连一条\((1, 2)\)的边。
然后这题就是这么回事了！
不过建图代码不是那么好些，因为每一种情况自身还会旋转，所以维护一个变量turn，表示他已经转了几次，这样向右向左向下转其实就是turn+1或是turn+2了。于是我们就成功避免了16种情况的大分类讨论。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxN = 1e4 + 5;
const int maxe = 4e6 + 5;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n, m, s, t, TOT = 0;
struct Edge
{
int nxt, from, to, cap, cos;
}e[maxe];
int head[maxN], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y, int w, int c, int flg) //black to white
{
if(y != t && flg) swap(x, y); //if x is white, swap x and y
e[++ecnt] = (Edge){head[x], x, y, w, c};
head[x] = ecnt;
e[++ecnt] = (Edge){head[y], y, x, 0, -c};
head[y] = ecnt;
}
In int num(int x, int y, int z)
{
return ((m * (x - 1) + y - 1) << 2) + z + 1;
}
#define U(x, y) num(x, y, 0)
#define R(x, y) num(x, y, 1)
#define D(x, y) num(x, y, 2)
#define L(x, y) num(x, y, 3)
In void build(int x, int y, int z, int flg)
{
int tp = 0;
for(int i = 0; i < 4; ++i) //to start/end
if((z >> i) & 1)
{
++TOT; ++tp;
if((x + y) & 1) addEdge(num(x, y, i), t, 1, 0, flg);
else addEdge(s, num(x, y, i), 1, 0, flg);
}
int turn = 0;
if(tp == 1)
{
if(z == 2) turn = 1;
if(z == 4) turn = 2;
if(z == 8) turn = 3;
int u = num(x, y, turn);
addEdge(u, num(x, y, (turn + 3) % 4), 1, 1, flg);
addEdge(u, num(x, y, (turn + 1) % 4), 1, 1, flg);
addEdge(u, num(x, y, (turn + 2) % 4), 1, 2, flg);
}
if(tp == 2)
{
if(z == 6) turn = 1;
if(z == 12) turn = 2;
if(z == 9) turn = 3;
if(z != 5 && z != 10)
{
int u = num(x, y, turn), v = num(x, y, (turn + 1) % 4);
addEdge(u, num(x, y, (turn + 2) % 4), 1, 1, flg);
addEdge(v, num(x, y, (turn + 3) % 4), 1, 1, flg);
}
}
if(tp == 3)
{
if(z == 7) turn = 1;
if(z == 14) turn = 2;
if(z == 13) turn = 3;
int v = num(x, y, (turn + 2) % 4);
addEdge(num(x, y, turn), v, 1, 2, flg);
addEdge(num(x, y, (turn + 1) % 4), v, 1, 1, flg);
addEdge(num(x, y, (turn + 3) % 4), v, 1, 1, flg);
}
}
bool in[maxN];
int dis[maxN], pre[maxN], flow[maxN];
In bool spfa()
{
Mem(dis, 0x3f); Mem(in, 0);
queue<int> q; q.push(s);
in[s] = 1; dis[s] = 0; flow[s] = INF;
while(!q.empty())
{
int now = q.front(); q.pop(); in[now] = 0;
for(int i = head[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
{
v = e[i].to;
if(e[i].cap && dis[now] + e[i].cos < dis[v])
{
dis[v] = dis[now] + e[i].cos;
pre[v] = i;
flow[v] = min(flow[now], e[i].cap);
if(!in[v]) in[v] = 1, q.push(v);
}
}
}
return dis[t] ^ INF;
}
int maxFlow = 0, minCost = 0;
In void update()
{
int x = t;
while(x ^ s)
{
int i = pre[x];
e[i].cap -= flow[t];
e[i ^ 1].cap += flow[t];
x = e[i].from;
}
maxFlow += flow[t];
minCost += flow[t] * dis[t];
}
In void MCMF()
{
while(spfa()) update();
}
int main()
{
Mem(head, -1);
n = read(), m = read();
s = 0, t = n * m * 4 + 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
int x = read();
build(i, j, x, (i + j) & 1);
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) //相邻接口连边
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
if(j < m) addEdge(R(i, j), L(i, j + 1), 1, 0, (i + j) & 1);
if(i < n) addEdge(D(i, j), U(i + 1, j), 1, 0, (i + j) & 1);
}
MCMF();
write(maxFlow == (TOT >> 1) ? minCost : -1), enter;
return 0;
}
