题解 NOIP2015 子串

题解 NOIP2015 子串

题意

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。

现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？

解法

看到题目我们就会想到以下的dp：

\(dp[i][j][k]\) 表示A串匹配到i，B串匹配到j，已经分出了k个片段的方案数，那么很明显有：

当 \(A[i]==B[i]\) 时

\(dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][k]+dp[i-1][j-1][k-1]\)

即，要加上当前位置 \(A[i]\) 与 \(A[i-1]\) 构成一段和不构成一段的方案数。

但是这是不对的！！！

因为是从 \(A\) 中挑选子串， \(A[i]\) 这个位置应该对应着选与不选两个状态。那么只需要再加一维就可以了。

我们设 \(dp[i][j][k][1]\) 表示当前状态下， \(A[i]\) 必须选的方案数，\(dp[i][j][k][0]\) 表示当前状态下， \(A[i]\) 必须不选的方案数。

那么我们有转移方程：

1. 当 \(A[i]==B[j]\) 时
   \(dp[i][j][k][1]=dp[i-1][j-1][k][1]+dp[i-1][j-1][k-1][0]+dp[i-1][j-1][k-1][1]\)
   因为\(A[i]\) 与 \(A[i-1]\) 构成一段时 \(A[i-1]\) 必须选，而不构成一段时可选可不选。
2. 当 \(A[i]!=B[j]\) 时
   此时 \(dp[i][j][k][1]=0\) ,因为不相同时根本不能选。

另外 \(dp[i][j][k][0]=dp[i-1][j][k][1]+dp[i-1][j][k][0]\)

因为当 \(A[i]\) 不选时， \(A[i-1]\) 选与不选均可。

PS：

此题的初始化是真的有毒,调了半天。

因为每一位在还没有开始匹配时，相当于没有选择，所以：
\(dp[i][0][0][0]=1\)

还有就是数据范围较大，要开滚动数组。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#define INF 2139062143
#define MAX 0x7ffffffffffffff
#define del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    x=0;T k=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')k=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}x*=k;
}
const int mod=1e9+7;
int add(int x,int y) {return (x+y)%mod;}
int dp[2][205][205][2];
int n,m,K;
char a[1000+5],b[205];

int main()
{
	read(n),read(m),read(K);
	scanf("%s",a+1);
	scanf("%s",b+1);
	int cur=0;
	dp[cur][0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cur^=1;
		dp[cur][0][0][0]=1;
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			for(int k=1;k<=K;k++) {
				if(a[i]==b[j]) {
					dp[cur][j][k][1]=add(dp[cur^1][j-1][k][1],add(dp[cur^1][j-1][k-1][1],dp[cur^1][j-1][k-1][0]));
				}
				else {
					dp[cur][j][k][1]=0;
				}
				dp[cur][j][k][0]=add(dp[cur^1][j][k][0],dp[cur^1][j][k][1]);
			}
		}
	}
	printf("%d",add(dp[cur][m][K][0],dp[cur][m][K][1]));
	return 0;
}