数状数组模板

 树状数组，又称二叉索引树。

一般解决动态连续和查询问题。

也就是说，

给定一个含有n个元素的数组A，要求你设计一个数据结构，支持2个操作：

1.Add(x, d)，也就是让第x个元素Ax增加d

2.Query(L, R)也就是计算AL + AL+1 + ...+AR

 

我们知道，在数据量很大的情况下，朴素的算法时间复杂度其实是非常高的。

所以现在要面临的问题就是如何让上述的两个操作花费的时间更少。

 

这里需要引进一个名为二叉索引树的概念。

二叉索引树：

 

 

在这之前，我们看看一个名为lowbit的概念。

啥是lowbit呢？

首先谈谈补码的概念。

假设 x = 11 它的二进制则为 x :1011

                  它的反码为：    x : 0100

       补码为反码末尾加一： x : 0101

OK，现在说说lowbit，它就是x&-x 

啥意思？

就是取x二进制位最右边的1所对应的值，比如11就是1(1011)，38288(1001010110010000)就是16(10000)

也就是说 lowbit(x) =  2^k其中，k为x&-x中后缀0的长度

 

给出代码：

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

 

 

下面看看这个图：

 

可以发现，对于结点i，如果它是其子树的左子节点，则其父节点的编号为：i+lowbit(i)；

反之如果其为右子树结点是，其父结点编号为：i-lowbit(i);

所以，我们开一个辅助数组C

Ci = A[i-lowbit(i)+1] + A[i-lowbit(i)+2] + A[i-lowbit(i)+3] +...+ A[i] 

可以发现

在BIT（二叉索引树）中，每个灰色的结点i都是以自身为结尾的水平长条（对于lowbit = 1的点输就是它自己） 

 

说了这么多，直接看图

 

下面是演示：

首先是求sum(11)的图：

可以知道(设A数组其从1开始)

C[11] = A[11]

C[11 - lowbit(11)] = C[10] = A[9] + A[10]

C[10 - lowbiot[10]] = C[8] = A[1] + A[2] + ...  + A[8]

C[8 - lowbit(8)] = C[0] = 0;

演示完毕。

 

给出代码：

int sum(int x)
{
    int ans = 0;
    while(x > 0)
    {
        ans += c[i]; x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

 

 

这是单点更新操作的图示（假设更新点3）：

下面解释一下：

 单点更新A[3]，也就是更新C[3] = A[3]+x

C[3 + lowbit(3)] = C[4]+x

C[4 + lowvbit(4)] = C[8]+x

C[8 + lowbit(8)] = C[16]  = 0(由于16大于15)

演示结束，下面看代码

void add(int x, int d)
{
    while(x <= n)
    {
        c[x] += d; x += lowbit(x);
    }
}