FZU-2191 完美的数字 简单数论

题目传送门

大致题意：

定义\(d(x)\)为把\(x\)拆分为\(A*A*B(1\leq A\leq B)\)的方案数。求\(\sum^{b}_{x=a} d(x)\)。

\(1\leq a \leq b \leq 10^{15}\)

---

Solution

首先，\([1,n]\)中被\(k\)整除的个数有\(\lfloor \frac{n}{k} \rfloor\)个。

转换一下题目，就是要求满足\([a,b]\)中满足$i^3\leq x $ 且\(i^2 | x\)的\(x\)的个数。

先不管前一个条件，如果只需要满足\(i^2|x\)该如何实现？

只需要枚举\(i^2\)，并累加\(\lfloor \frac{n}{i^2} \rfloor\)到答案上。

但因为我们只能快速求得\([1,n]\)中被\(i^2\)整除的数的个数，所以考虑用类似前缀和的东西，用\([1,b]\)的答案减去\([1,a-1]\)的答案。

那么问题转化为了求\([1,n]\)间满足条件的个数。那么就枚举\(1\leq i^2\leq n\)即可。

但由于\(x\)要满足\(i^3 \leq x\)，所以累加的应该是\([i^3,n]\)之间被\(i^2\)整除的数。那么累加的就改为\(\lfloor \frac{n}{i^2}\rfloor - \lfloor \frac{i^3-1}{i^2} \rfloor\)。

显然\(n\)要大于\(i^3\)，那么枚举\(i\)的上界到\(\sqrt[3] n\)即可。

\(10^{15}\)注意longlong。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll solve(ll b)
{
    ll B=cbrt(b),ans=0;
    for(ll i=1;i<=B;i++)
        ans+=(b/(i*i)-((i*i*i-1ll)/(i*i))); 
    return ans;
}
int main()
{
    ll ans=0,a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld\n",solve(b)-solve(a-1));
    return 0;
}