【乘法逆元基础实现】

今天来讲讲乘法逆元。
首先是模板题链接
首先，乘法逆元的定义还是简单说一下：

若在mod p意义下，对于一个整数a，有\(a\times b≡1(mod p)\)，那么这个整数d即为a的 乘法逆元，同时a也为d的乘法逆元

然后主要是代码实现。
我们分为两种种情况来求乘法逆元

1.求较少无规律数的乘法逆元

一、扩展欧几里得

已经在扩展欧几里得算法讲过了，这种算法也是较少无规律数算法中较快的一种。

二、费马小定理。

费马小定理：
当\(p\)为质数时，对于任意整数\(a\)，满足\(a^p-a\)是\(p\)的整数倍，在\(\mod p\)意义下可以表示为：

\[\begin{split} a^p-a \equiv 0\pmod{p}\\ a^p \equiv a\pmod {p}\\ a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\\ a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod{p} \end{split} \]

所以很明显，只需要算出\(a^{p-2}\mod p\)就是\(a\)在\(\mod p\)意义下的逆元，用快速幂算出来就可以了。

2.求1~n逆元

很明显，这种要求这么多数字的逆元的题目，不能再简单地挨个单个算它的逆元了。
这个时候就需要一种算法，能够在很短的时间内求出这一连串数字在\(\mod p\)意义下的逆元，所以就出现了这种线性算法
它能够用\(O(n)\)的时间复杂度来求出1~n的每一个逆元。
首先 \(1^{-1}\equiv 1\pmod {p}\)(既然\(p\)是质数那么\(p\)一定是\(≥2\)的整数)
然后设 \(p=k*i+r,(1<r<i<p)\)也就是 \(k\) 是 \(p / i\) 的商，\(r\) 是余数 。
再将这个式子放到\(\pmod p\)意义下就会得到：
\(k*i+r \equiv 0 \pmod p\)
然后乘上\(i^{-1},r^{-1}\)就可以得到:

\(O(n)\)递推公式：

inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

inv[1]初值赋\(1\).
ov.