麻球繁衍

【题目描述】

万有引力定律：

“使物体相互靠近的力的大小与物体的质量成正比——而物体的质量又由同一种力决定。这是一个有趣并且有益的例子，说明了科学是如何用A证明B，再用B证明A的。”——安布罗斯·比尔斯（美国讽刺作家——译者注）。

 

你有一坨K个毛球（<星际迷航>中的种族——译者注）。这种毛球只会存活一天。在死亡之前，一个毛球有P_i的概率生出i个毛球(i=0,1,...,n-1)。m天后所有毛球都死亡的概率是多少？（包含在第m天前全部死亡的情况）

 

【输入格式】

输入包含多组数据。

输入文件的第1行是一个正整数N，表示数据组数。

每组数据的第1行有3个正整数n(1<=n<=1000),k(0<=k<=1000),m(0<=m<=1000)。

接下来有n行，给出P_0,P_1,...,P_n-1。

 

【输出格式】

对于第i组数据，输出"Case #i: "，后面是第m天后所有毛球均已死亡的概率。

 

【样例输入】

4

3 1 1

0.33

0.34

0.33

3 1 2

0.33

0.34

0.33

3 1 2

0.5

0.0

0.5

4 2 2

0.5

0.0

0.0

0.5

 

【样例输出】

Case #1: 0.3300000

Case #2: 0.4781370

Case #3: 0.6250000

Case #4: 0.3164063

 

【提示】

如果你的输出与标准答案相差不超过10^-5，那么你的答案就被认为是正确的。

 

【来源】

UVa11021 Tribles

刘汝佳，《算法竞赛入门经典训练指南》表2.8

 

【题解】

全概率公式：假如事件B1,B2,B3…Bn两两之间交集为空且它们的并集就是样本空间,那么对于另一个事件A:

                                      P(A)=P(B1)*P(A|B1)+P(B2)*P(A|B2)…P(Bn)*P(A|Bn)

全概率公式的简单应用，因为每个麻球都是独立的，而且会在当天死亡，未出现新的麻球=全部死亡。设f[i]为一只毛球在i天以内全部死亡的概率。可得

　　f[i]=p0+f[i-1]*p1+(f[i-1])²*p2+(f[i-1])³*p3...

　　每只毛球和它的后代死亡的概率是独立的，所以生了1只毛球就是死亡的概率f[i-1]，2只f[i-1]²

　　最后答案:f[m]^k。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int sj=1010;
int ca,n,m,k;
double p[sj],temp,ww,dxj;
int main()
{
    //freopen("t.txt","r",stdin);
    freopen("tribbles.in","r",stdin);
    freopen("tribbles.out","w",stdout);
    scanf("%d",&ca);
    for(int l=1;l<=ca;l++)
    {
       scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
       for(int i=0;i<n;i++)  scanf("%lf",&p[i]);
       ww=p[0];
       for(int i=2;i<=m;i++)
       {
          dxj=ww;
          ww=p[0];
          temp=dxj;
          for(int j=1;j<n;j++)
          {
             ww+=p[j]*temp;
             temp*=dxj;
          }
       }
       temp=ww;
       for(int i=2;i<=k;i++)
         temp*=ww;
       printf("Case #%d: %.7lf\n",l,temp);
    }
    //while(1);
    return 0;
}