一、有界性与最大值最小值定理

最大值最小值的概念：

对于在区间 \(I\) 上有定义的函数 \(f(x)\) ，如果有 \(x_0 \in I\) 使得对于任一 \(x \in I\) 都有

\[f(x) \leqslant f(x_0) \quad (f(x) \geqslant f(x_0)) , \]

那么就称 \(f(x_0)\) 是函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的最大值（最小值）。

定理1（有界性与最大值最小值定理）

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

注意：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界。

二、零点定理与介值定理

如果 \(x_0\) 使 \(f(x_0) = 0\) ，那么 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的零点。

定理2（零点定理）

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号（即 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)），则在开区间 \((a, b)\) 上至少有一点 \(\xi\) ，使

\[f(\xi) = 0. \]

定理3（介值定理）

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

\[f(a) = A \quad 及 \quad f(b) = B, \]

则对于 \(A\) 与 \(B\) 之间的任意一个数 \(C\) ，在开区间 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ，使得

\[f(\xi) = C \quad (a < \xi < b). \]

证明：设 \(\varphi (x) = f(x) - C\) ，则 \(\varphi (x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(\varphi (a) = A - C\) 与 \(\varphi (b) = B - C\) 异号。根据零点定理，在开区间 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi\) 使得

又 \(\varphi (\xi) = f(\xi) - C\) ，因此由上式得

推论： 在闭区间 \([a, b]\) 上连续的函数 \(f(x)\) 的值域为闭区间 \([m, M]\) ，其中 \(m\) 与 \(M\) 依次为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的最大值与最小值。

例1 证明方程 \(x^3 - 4x^2 + 1 = 0\) 在区间 \((0, 1)\) 内至少有一个根。
证明：函数 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 1\) 在闭区间 \([0, 1]\) 上连续，又

根据零点定理，在 \((0, 1)\) 内至少有一点 \(\xi\) ，使得

即

这等式说明方程 \(x^3 - 4x^2 + 1 = 0\) 在区间 \((0, 1)\) 内至少有一个根是 \(\xi\) .

*三、一致连续性

** 一致连续性定义**

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义。如果对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，总存在正数 \(\delta\) ，使得对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1, x_2\) ，当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时，有

\[\left| f(x_1) - f(x_2) \right| < \varepsilon , \]

那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续。

一致连续性表示，不论在区间 \(I\) 的任何部分，只要两个自变量的数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。

由上述定义可知，如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续，那么 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上也是连续的。但反过来不一定成立。

例2 函数 \(f(x) = \cfrac{1}{x}\) 在区间 \((0, 1]\) 上是连续的，但不是一致连续的。
因为函数 \(f(x) = \cfrac{1}{x}\) 是初等函数，它在区间 \((0, 1]\) 上有定义，所以在 \(\left( 0, 1 \right]\) 上是连续的。
\(\forall \varepsilon > 0 (0 < \varepsilon < 1)\) ，假定 \(f(x) = \cfrac{1}{x}\) 在 \(\left( 0, 1 \right]\) 上一致连续，应该 \(\exists \delta > 0\) 使得对于 \(\left( 0, 1 \right]\) 上的任意两个值 \(x_1, x_2\) ，当 \(\left| x_1 - x_2 \right| < \delta\) 时，就有 \(\left| f(x_1) - f(x_2) \right| < \varepsilon\) .
现在取原点附近的两点

其中 \(n\) 为正整数，这样的 \(x_1, x_2\) 显然在 \(\left( 0, 1 \right]\) 上。因

故只要 \(n\) 取得足够大，总能使 \(\left| x_1 - x_2 \right| < \delta\) 。但这时有

不符合一致连续的定义，所以 \(f(x) = \cfrac{1}{x}\) 在 \(\left( 0, 1 \right]\) 上不是一致连续的。

上例说明，在半开区间上的连续函数不一定在该区间上一致连续。

定理4（一致连续性定理）

如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \(\left[ a, b \right]\) 上连续，那么它在该区间上一致连续。