洛谷P3327 [SDOI2015]约数个数和——莫比乌斯反演

约数个数和

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题解：

思路：

1.转换：将枚举i是x的倍数，j是y的倍数转换成枚举一个约数，有多少个数是其倍数，这样可以用整除分块预处理

整除分块：

给定n，求（Σ_d=1ⁿ  ⌊n /d⌋）%998244353，n<=1e14

直接枚举会爆

考虑优化：

我们发现，⌊n/d⌋是有可能等于⌊n/(d+1)⌋的

那我们为什么要重复算呢？ 直接加就好了！！

那也就是说，对于一个i，我们要找到一个j，使得⌊n/i⌋=⌊n/(i+1)⌋=⌊n/(i+2)⌋=……=⌊n/j⌋!=n/(j+1)

那么，我们得出 j=⌊n/(⌊n/i⌋)⌋

于是就可以优化了，复杂度是O（sqrt（n））

2.由莫比乌斯的重要性质，将gcd(a,b)=k转换成gcd(a,b)/k=1，令n等于[ gcd(a,b)/k=1 ]，就可以把左边的式子代入化简，最后变成求莫比乌斯函数的前缀和

3.流程：对后面两个sigma进行整除分块，每次累加预处理的u函数和f数组(整除分块)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50005
#define ll long long
ll pri[N],mu[N],sum[N],f[N],cnt=0,su[N];
void suu()
{
    mu[1]=1;
    int nn=N-5;
    for(int i=2;i<=nn;i++){
        if(!pri[i]) su[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&su[j]*i<=nn;j++){
            pri[su[j]*i]=1;
            if(i%su[j]) mu[su[j]*i]=-mu[i];
            else break;//mu=0
        }
    }
    for(int i=1;i<=nn;i++){//sqrt(n)的预处理 f[i]表示1~i中floor(p/i)的和 
        for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){//枚举l和r 相当于整除分块里面的i和j 因为f会重复算 就直接算出重复的区间 用值来*上即可 
             r=i/(i/l);
             f[i]+=(r-l+1)*(i/l);
         }
     sum[i]=sum[i-1]+mu[i];//求一个莫比乌斯的函数前缀和 
    }
     
}
ll solve(int a,int b)
{
    if(a>b) swap(a,b);
    ll ans=0;
    for(ll l=1,r;l<=a;l=r+1){//还要再一次整除分块 是后面那个枚举约数的式子 
        r=min(a/(a/l),b/(b/l));//一定要记得取min 因为r跳的是值更小的那一个!!!
        ans+=(sum[r]-sum[l-1])*f[a/l]*f[b/l];//推出来的式子 
    }
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
    int T;
    suu();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",solve(n,m));
    }
}
/*
2
7 4
5 6
*/