2026寒来追梦总结

$Day 1$ 扩展欧几里得

一、扩欧 $(exgcd)$

用于求解不定方程 $ax + by = \gcd(a, b)$

推导过程:

我们对两边同时进行辗转相除可以得到

\[bx_1 + (a \mod b)y_1 = \gcd(b, a \mod b) \]
则根据欧几里得定理有

\[bx_1 + (a \mod b)y_1 = ax + by \]
可以解得

\[x = y_1, y = x_1 - (a / b) * y_1 \]
所以可以使用递归求解

呈现：

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
  if(b == 0) {
    return x = 1, y = 0, a;
  }
  ll x1, y1, ans = exgcd(b, a % b, x1, y1);
  return x = y1, y = x1 - y1 * (a / b), ans;
}

时间复杂度 $O(\log{n})$

二、应用

(一) 求解二元一次不定方程的特解

根据裴蜀定理判断无解对于一个不定方程 $ax + by = c$ 有解，当且仅当 $c$ 为 $\gcd(a,b)$ 的倍数
求解 $ax + by = \gcd(a, b)$
将求出的解 $* c / \gcd(a, b)$
若求最小正整数解则在 $a,b / \gcd(a, b)$ 后分别将 $(x,y \mod b,a + b, a) \mod b,a$

呈现：

d = exgcd(a, b, x, y);
if(c % d) {
  cout << "-1\n";
  continue;
}
a /= d, b /= d, c /= d;
minx = (x * c % b + b) % b, miny = (y * c % a + a) % a;

(二) 求解同余方程的特解

对于同余方程 $ax \equiv c \pmod{b}$ 可以将其变形为 $$ax + by = c \pmod{b}$$
此时与(一)一致

三、习题

$Luogu\ P2613$

思路：

在读入时便将 $a,b,c$ 取模从而不使用高精度
然后解方程即可

$code$

$Luogu\ P1516$

思路：

将题目抽象成 $x + mt = y + nt \pmod{L}$
将式子化简的 $(m- n)t \equiv y - x \pmod{L}$
解除最小整数解即可

$code$

$Luogu\ P5656$

思路：

解方程
求出 $min_x,min_y$
推算出 $max_x,max_y$
根据周期求出解的情况并输出

$code$

$CF\ 710D$

思路：

根据题意得 $a_1k' + a_2l' = b_2 - b_1$
求出方程特解
根据特解求出通解 $x = x_0 + tb_1$
带入区间化简求解

$code$

$Day 2$ 模意义下的乘法逆元

一、乘法逆元 $(inv)$

定义：对于整数 $a$ 和模数 $p$ 若存在 $ax \equiv 1 \pmod{p}$ 则称 $a, x$ 在模 $p$ 意义下互为逆元

用于在模 $p$ 意义下的除法

逆元存在条件：$$\gcd(x, p) =1$$

二、求解方法

(一) 扩欧解同余方程

利用定义同余方程求解

优点: 可以用于所有情况，可以判断无解情况

缺点：无

单个时间复杂度 $O(\log{n})$

(二) 费马小定理求解

费马小定理

设 $ p $ 是素数。对于任意整数 $ a $ 且 $p \nmid a$ ，都成立 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$

根据费马小定理得到对于整数 $x$ 以及素模数 $p$ 有 $ x^{p - 2}x = x^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ ,所以得到 $x^{-1} = x^{p - 2}$

优点: 代码量小(仅需要快速幂)

缺点：$p$ 必须是质数,无法判断无解情况

单个时间复杂度 $O(\log{n})$

(三) 线性递推求 $n$ 以内逆元

推导过程

对于任意 $2 \le i < p$，令：

\[p = k \cdot i + r \]

其中：

$k = \left\lfloor \frac{p}{i} \right\rfloor$
$r = p \bmod i$

将表达式两边同时对 $p$ 取模：

\[k \cdot i + r \equiv 0 \pmod p \]

将上式两边同时乘以 $i^{-1} \cdot r^{-1}$ 得：

\[r \cdot i^{-1} \cdot r^{-1} \cdot (-k \cdot i \cdot i^{-1}) \cdot r^{-1} \equiv 0 \pmod p \]

化简得：

\[i^{-1} \equiv -k \cdot r^{-1} \pmod p \]

将 $k = \left\lfloor \frac{p}{i} \right\rfloor$、$r = p \bmod i$ 代入得：

\[i^{-1} \equiv -\left\lfloor \frac{p}{i} \right\rfloor \cdot (p \bmod i)^{-1} \pmod p \]

边界条件：当 $i=1$ 时 $1^{-1} = 1 \pmod p$

最终公式 $$inv_i = (p - \left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor ) \times inv_{p\mod i} \pmod p$$

优点: 求多个时速度快

缺点：无

线性时间复杂度 $O(n)$

(四) 求阶乘逆元

根据 $x^{-1}x \equiv 1 \pmod{p}$,我们可以先求出 ${n!}^{-1}$ 然后从后往前递推得到所有阶乘的逆元

优点: 求多个时速度快

缺点：无

线性时间复杂度 $O(n)$

三、习题

$Luogu\ P5431$

思路：

将所有数进行前缀积
利用类似求阶乘逆元思路求出每个前缀积的逆元
用当前前缀积逆元与上一个前缀积相乘得到当前逆元

$code$

$Luogu\ P1593$

思路：

分解 $a$ 的所有质因数
设 $a = p_1^{t_1} \cdot p_2^{t_2} \cdot ...\cdot p_k^{t_k}$。计算每一个因子的贡献，即 $1 + p_i + p_i^2 + ... + p_i^{t_i \cdot b}$。是一个等比数列，和为 $\frac{1 - p_i^{t_i \cdot b + 1}}{1-p_i}$。
当 $1 - p_i$ 与 $9901$ 不互质，即 $p_i \mod 9901 = 1$时，没有逆元。此时整个等比数列均为 $1$，即总贡献为 $t_i \cdot b + 1$。
将每一个因子贡献相乘即可

$code$

$Day 3$ 欧拉函数

一、 $\varphi (x)$

定义: 小于等于 $n$ 的正整数与 $n$ 互质的个数

性质：

对于素数 $p$ 的幂次 $p^{k} (k \ge 1)$ 有 $\varphi (p^k) = p^k - p^{k - 1} = p^{k - 1} \cdot (p - 1)$
若 $a \mid x$ 则 $\varphi (ax) = a \cdot \varphi (x)$
若 $\gcd(n,m) = 1$ 则 $\varphi(nm) = \varphi(n) \cdot \varphi(m)$

二、计算方法

(一) 定义法求单个数的欧拉函数

推导过程

令 $n = p_1^{t_1} \cdot p_2^{t_2} ... p_k^{t_k}$,根据性质三有 $\varphi(n) = \varphi(p_1^{t_1}) \cdot \varphi(p_2^{t_2}) ... \varphi(p_k^{t_2})$,再根据性质一有 $\varphi(n) = p_1^{t_1 - 1} \cdot (p_1 - 1) \cdot p_2^{t_2 - 1} \cdot (p_2 - 1) ... p_k^{t_k - 1} \cdot (p_k - 1)$ 此时提出一个 $n$ 可以得到 $\varphi(n) = n \cdot \frac{(p_1 - 1) \cdot (p_2 - 1) ... (p_k - 1)}{p_1 \cdot p_2 ... p_k}$

令 $n = p_1^{t_1} \cdot p_2^{t_2} ... p_k^{t_k}$,$\varphi(n) = n \cdot \frac{(p_1 - 1) \cdot (p_2 - 1) ... (p_k - 1)}{p_1 \cdot p_2 ... p_k}$。

(二) 线性筛求

原理

每个合数仅被它最小的质因子标记从而达到线性时间复杂度

三、习题

$UVA\ 10179$

思路:

模版题根据题意化简其实就是求 $\varphi(n)$

$code$

$ UVA\ 11327$

思路：

模版暴力题，线性筛出 $\varphi (200000)$ 然后暴力累加

$code$

$CF\ P$

思路：

两边同时除以 $d = \gcd(a, m)$，即 $\gcd(\frac{a}{d},\frac{m}{d}) = \gcd(\frac{a + x}{d},\frac{m}{d}) = 1$
对于 $\gcd(\frac{a + x}{d},\frac{m}{d}) = 1$ 进行辗转相除可以得到
$\gcd(\frac{a + x}{d},\frac{m}{d}) = \gcd(\frac{a + x}{d} \mod{m},\frac{m}{d}) = 1$
令 $\frac{a + x}{d} \mod{m} = a, \frac{m}{d} = b$
所以此时 $a, b$ 互质
此时考虑 $a$ 的值域, 因为 $x \in [0, m)$ 而 $a$ 是模 $b$ 意义下，所以有 $a \in b$
所以题面转化为了求 $\varphi(\frac{m}{d})$

$code$

$Luogu\ P1891$

思路：

先将$\operatorname{lcm}(i, n) 转化为 \frac{n \cdot i}{\gcd(i,n)}$
然后考虑枚举 $\gcd(i,n)$ 即枚举 $n$ 的因子
对于每个因子 $d_j$ 其贡献为 $\sum_{i \% n != 0}^{d} i$
对于小于等于 $n$ 与 $n$ 互质的数的和就是 $ \frac{n \cdot \varphi(n)}{2}$

$code$

$Day 4$ 扩展中国剩余定理

一、 $exCRT$

用于求解同余方程组

\[x \equiv a_1 \pmod {p_1} \]
\[x \equiv a_2 \pmod {p_2} \]
\[... \]
\[x \equiv a_k \pmod {p_k} \]

二、推导过程

数学归纳法:

假设已经解出前 $k - 1$ 个方程的一个特解 $x_{k - 1}$, 前 $k - 1$ 各模数的 $lcm$ $lcm_{k-1}$ 则通解为 $x_{k - 1} + lca_{k-1} \cdot t$

将通解带入第 $k$ 个方程得到 $x_{k-1} + lcm_{k - 1} \cdot t \equiv a_k \pmod {p_k}$

化简得 $lcm_{k-1} \cdot t \equiv a_k - x_{k-1}$

此时通过扩欧求解即可，求解后更新特解 $x$ 和 $lcm$ 继续求解

实现:

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {// 扩欧
	if(!b) return x = 1, y = 0, a;
	ll x1, y1, ans = exgcd(b, a % b, x1, y1);
	return x = y1, y = x1 - (a / b) * y1, ans;
}

ll h(ll a, ll b, ll c, ll &d) {// 解同余方程
	ll x, y;
	d = exgcd(a, b, x, y);
	if(c % d) return -1;
	a /= d, b /= d, c /= d;
	return (x * c % b + b) % b; 
}

ll excrt(ll ans = b[1] % p[1], ll k = p[1], ll x = 1) {
  //对于第一个方程特解x为 a[1] % p[1], lcm = p[1];
	for(ll i = 2, d; i <= n; i++) {// 求解每一个方程
		b[i] = ((b[i]- ans) % p[i] + p[i]) % p[i];
		if((x = h(k, p[i], b[i], d)) == -1) return -1; 
		ans = ans + x * k, k = k / d * p[i], ans = (ans % k + k) % k;// 更新特解x和lcm
	}
	return ans;
}

时间复杂度 $O(n \log {n})$

三、习题

$Luogu\ P4777$

思路：

模版题，注意数据范围

$code$

$UVA\ 756$

思路：

模版题

$code$

$Luogu\ P3868$

思路：

根据题意可以列出同余方程 $ n \equiv a \pmod b $
直接套模版即可

$code$

$Luogu\ P2421$

思路：

观察到 $n$ 比较小可以列出所有同余方程，然后只需找到一个最小的模数 $m$ 使得所有方程无解即可
此时可以枚举 $m$ 对于每个 $m$ 验证一遍如果满足就输出即可

$code$

$CF\ 687B$

思路：

由题可得，x 可以用每个数表示出来
推导一下可以得到结论当 $k \mid lmc(c_1, c_2 ... , c_n)$ 时为 $Yes$,反之为 $No$

$code$

$Day 5$ 欧拉定理 $ && $ 扩展欧拉定理

一、欧拉定理和扩展欧拉定理

欧拉定理: 对于整数 $m>0$ 和整数 $a$，且 $\gcd(a,n)=1$，有：$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$ 其中 $\varphi(n)$ 表示 $n$ 的欧拉函数

特殊情况(费马小定理) : 当 $m$ 是质数的时候

扩展欧拉定理: 对于任意正整数 $m$、整数 $a$ 和非负整数 $k$，有：

\[a^k \equiv \begin{cases} a^k, & k < \varphi(m), \\ a^{(k \bmod \varphi(m)) + \varphi(m)} & k \ge \varphi(m) \end{cases} \pmod m \]

二、欧拉定理证明过程

设
$ S=\{r_1,r_2,\dots,r_{\varphi(m)}\} $
是模 $m$ 的一个既约剩余系，且 $\gcd(a,m)=1$。

构造集合 $aS$
令
$ aS=\{a r_1,a r_2,\dots,a_{\varphi(m)}\} $
证明 $aS$ 也是模 $m$ 的既约剩余系

两两不同余
若 $a r_i\equiv a r_j\pmod m$，由 $\gcd(a,m)=1$，可约去 $a$，得 $r_i\equiv r_j\pmod m$。
而 $S$ 是既约剩余系，故 $i=j$，即 $aS$ 中元素两两不同余。
每个元素都与 $m$ 互质
$\gcd(a,m)=1,\ \gcd(r_i,m)=1\Rightarrow \gcd(a r_i,m)=1$。

因此 $aS$ 也是模 $m$ 的既约剩余系。

两集合元素乘积同余
既约剩余系在模 $m$ 下只是排列不同，乘积相等：
$ \prod_{i=1}^{\varphi(m)} r_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(m)} (a r_i) \pmod m $
右边提出 $a$ 的幂：
$ \prod_{i=1}^{\varphi(m)} r_i \equiv a^{\varphi(m)}\cdot \prod_{i=1}^{\varphi(m)} r_i \pmod m $

约去公共乘积
记
$ P = \prod_{i=1}^{\varphi(m)} r_i $
每个 $r_i$ 与 $m$ 互质，故 $\gcd(P,m)=1$，可在同余式两边约去 $P$：
$ 1\equiv a^{\varphi(m)}\pmod m $
即
$ a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m $

三、习题

$Luogu\ P5091$

思路：

模版题

$code$

$Luogu\ P4139$

思路：

指数的模数每次会更新为 $\varphi(x)$
可以递归求解
边界条件：当 $\varphi(n) = 1$ 时指数为 $0$

$code$

$CF\ 906D$

思路：

类似上一题
但是在取模时候要考虑当前指数与当前模数的欧拉函数的大小关系

$code$

$Day 6$ 大步小步算法

一、BSGS

用于求解高次同余方程 $a^{x} \equiv b \pmod p$, 其中$a,p$ 互质

思路：

朴素算法：根据欧拉定理，$a$ 的幂在模 $p$ 意义下有循环节，所以可以枚举答案，时间复杂度为 $O(\varphi(p))$，又因为 $p$ 为质数，时间复杂度约为 $O(p)$

但是当 $p$ 较大时朴素算法很慢，此时我们可以考虑用空间来换取时间复杂度

我们令 $t = \left \lceil \sqrt p \right \rceil $， $x = A \cdot t - B$

将 $x$ 带入原式并变形得到 $a^{A \cdot t - B} = b \cdot a^ B \pmod p$

接下来枚举 $B \in \left [ 0,t \right )$, 将 $b \cdot a^B$ 存在哈希表中，此步时间复杂度 $O(t)$

最后枚举 $ A \in \left [ 1,t \right ] $, 计算$a^{tA}$，如果在哈希表中出现，则有解 $x = A\cdot t - B$，此步时间复杂度 $O(t)$

如果最后都没有找到则无解

时间复杂度: $O(\sqrt {p})$

实现：

ll bsgs(ll a, ll b, ll mod) {
	b = b % mod;
	ll t = sqrt(mod) + 1, v = b;
	for(ll i = 0; i <= t; mp[v] = ++i, v = v * a % mod) ;
	v = a = qpow(a, t, mod);
	for(ll i = 1; i <= t; i++) {
		if(mp[v]) {
			return (i * t - mp[v] + 1 + mod) % mod;
		}
		v = v * a % mod;
	}
	return -1;
}

二、exBSGS

用于求解高次同余方程 $a^{x} \equiv b \pmod p$, 不要求 $a,p$ 互质

思路：

先将方程转化为不定方程 $a^{x} + p \cdot y = b$

提出一个 $a$ 得到 $a \cdot a^{x - 1} + p \cdot y = b$

令 $d = \gcd(a, p)$,使用裴蜀定理判断是否无解，若有解继续往下

将方程两边同时除 $d$ 得到 $\frac{a}{d} \cdot a^{x - 1} + \frac{p}{d} \cdot y = \frac{b}{d}$

再将不定方程转化为同余方程得到 $\frac{a}{d} \cdot a^{x - 1} \equiv \frac{b}{d} \pmod{\frac{p}{d}}$

化简得到 $a^{x - 1} \equiv \frac{b}{d} \cdot {\frac{a}{d}} ^{-1} \pmod{\frac{p}{d}}$

重复以上步骤直至证明无解或 $a,p$ 互质

使用BSGS求解，最后答案需要加上转变次数

三、习题

$Luogu\ P3546$

思路：

模版题，注意 $b = 1$ 的特殊情况

$code$

$Luogu\ P4454$

思路：

通过给出的 $g, p, A$ 算出 $a$
再利用 $k = B^a$ 得出答案

$code$

$Luogu\ P2485$

思路：

超级缝合怪模版题

$code$

posted @ 2026-02-25 15:31 mouse_boy 阅读(46) 评论(0) 收藏举报

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太蒟了

\(Day 1\) 扩展欧几里得

一、扩欧 \((exgcd)\)

二、应用

(一) 求解二元一次不定方程的特解

(二) 求解同余方程的特解

三、习题

\(Day 2\) 模意义下的乘法逆元

一、乘法逆元 \((inv)\)

二、求解方法

(一) 扩欧解同余方程

(二) 费马小定理求解

(三) 线性递推求 \(n\) 以内逆元

(四) 求阶乘逆元

三、习题

\(Day 3\) 欧拉函数

一、 \(\varphi (x)\)

二、计算方法

(一) 定义法求单个数的欧拉函数

(二) 线性筛求

三、习题

\(Day 4\) 扩展中国剩余定理

一、 \(exCRT\)

二、推导过程

三、习题

\(Day 5\) 欧拉定理 $ && $ 扩展欧拉定理

一、 欧拉定理和扩展欧拉定理

二、欧拉定理证明过程

三、习题

\(Day 6\) 大步小步算法

一、BSGS

二、exBSGS

三、习题

公告

一、欧拉定理和扩展欧拉定理