莫比乌斯反演 超级详细推导

莫比乌斯反演

今天是世纪性的一天，因为我又又又又来看数论且弄懂了qwq。

前置知识: , (我们需要将式子化为整数分块可以解决的形式)

莫比乌斯函数

->

函数构成

• 当时,
• 当,且为互异质数时,;

(也就是就是分解质因数后，没有幂次大于2的质因子，此时函数值根据分解的个数决定)

• 只要含有任何质因子的幂次大于等于2,则

性质

• 对于任意正整数,
• 对于任意正整数,

code

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注意

整除_百度百科 (baidu.com)

的意思为b除以a为整数(b为a的倍数),即a能整除b

莫比乌斯反演

定理

和是定义在非负整数集合上的两个函数,它们之间满足关系

那么就有结论

这个定理即为莫比乌斯反演定理.

还有另外一种形式

若

则

证明

这里只给出第一种形式的证明,第二种形式同理.

由定理可设

//这一步没看懂的去看交换求和,接下来都为交换求和的知识点

//(莫比乌斯函数性质1)只有在时才有值,其他时候为0;

//因此

//故

得证.

例题

P2257 YY的GCD - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

观察定理可知,我们在反演前需要设出与

而对于这种有的题目,一般套路为将设为的对数,将设为或n的倍数的对数;

(对数为满足条件的对数)

即有

带入反演公式后有

接下来开始计算答案

//反演

为了将消去,设

由于我们需要将式子向整除分块,即形如的形式

所以我们设

接下来就可以开始运算啦

为,即

为的前缀和,用来计算整除分块.

code

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