对O(logN)复杂度的推导

    之前一直对O(logN)这个复杂度如何推导出的存在疑问，这段时间看了一些算法相关的内容，正好看到这个问题，大略研究了一下算是基本解答了我的疑惑；现记录如下

 

    假设有一棵高为H的满二叉树，则它的节点共有N = 2^H-1个；

    假设需要搜索这棵二叉树中是否存在某个元素，那么对于本次搜索而言，最坏的情况即是搜索到最后一层；那么对于最坏的搜索情况而言，一共会搜索H次（即这棵树的高度）；

    以上是前提条件

      因为      N = 2^H-1，即树的节点数

      又         log₂N = log₂2^H-1 = H - 1

      且         对于H极大的情况而言，-1可忽略不计

      所以      搜索次数 H ≈ log₂N

      由换底公式可得：log₂N = log_AN/log_A2

      因为      A是某一给定的数

      所以      1/log_A2为一常数

      所以      log₂N = log_AN/log_A2 = Clog_AN

      所以      O(log₂N) = O(Clog_AN) = O(log_AN)

      所以      对任何底数A，复杂度均可化为O(log₂N)

      即         对于任何A叉树，搜索该树中某一个元素是否存在的复杂度均为O(log₂N)

      因此      可简化为O(logN)

 

    如果有一大小为N的数组，搜索该数组中的元素是否存在与某树中，该算法的复杂度为O(NlogN)

 

    最后给出复杂度的大小关系：

      O(1) < O(logN) < O(√N) < O(N) < O(NlogN) < O(N²) < O(N³) < O(2^N) < O(N!)