【数据结构_排序】堆排序

堆

1.堆本质上是一个完全二叉树，满足的性质为：
1）堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值。
小堆：将根结点最小的堆叫做小堆，也叫最小堆或小根堆。
大堆：将根结点最大的堆叫做大堆，也叫最大堆或大根堆。
2.堆的结构

堆的代码实现（C++）

初始化堆

首先，必须创建一个堆类型，该类型中需包含堆的基本信息：存储数据的数组(下标为0~n-1)、堆中元素的个数(size=n)以及当前堆的最大容量。

typedef int HPDataType;//堆中存储数据的类型
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;  //用于存储数据的数组
	int size;       //记录堆中已有元素个数
	int capacity;   //记录堆的容量
}HP;

//初始化堆
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{
	assert(php);

	HPDataType* tmp = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);//申请一个堆结构
	if (tmp == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	php->a = tmp;
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType)*n);//拷贝数据到堆中
	php->size = n;
	php->capacity = n;
	int i = 0;
	//建堆
	for (i = (php->size - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a, php->size, i);  //堆的向下调整
	}
}

堆的删除

堆的删除，删除的是堆顶的元素，但是这个删除过程可并不是直接删除堆顶的数据，而是先将堆顶的数据与最后一个结点的位置交换，然后再删除最后一个结点，再对堆进行一次向下调整。
 原因：我们若是直接删除堆顶的数据，那么原堆后面数据的父子关系就全部打乱了，需要全体重新建堆，时间复杂度为O ( N ) 。若是用上述方法，那么只需要对堆进行一次向下调整即可，因为此时根结点的左右子树都是小堆，我们只需要在根结点处进行一次向下调整即可，时间复杂度为O ( log ⁡ ( N ) )。

//堆的删除
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);//交换堆顶和最后一个结点的位置
	php->size--;//删除最后一个结点（也就是删除原来堆顶的元素）
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);//向下调整
}

堆的向下调整算法

//交换函数
void Swap(int* x, int* y)
{
	int tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}

//堆的向下调整（小堆）
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	//child记录左右孩子中值较小的孩子的下标
	int child = 2 * parent + 1;//先默认其左孩子的值较小
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n&&a[child + 1] < a[child])//右孩子存在并且右孩子比左孩子还小
		{
			child++;//较小的孩子改为右孩子
		}
		if (a[child] < a[parent])//左右孩子中较小孩子的值比父结点还小
		{
			//将父结点与较小的子结点交换
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续向下进行调整
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else//已成堆
		{
			break;
		}
	}
}

堆的插入

数据插入时是插入到数组的末尾，即树形结构的最后一层的最后一个结点，所以插入数据后我们需要运用堆的向上调整算法对堆进行调整，使其在插入数据后仍然保持堆的结构。

//堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, 2 * php->capacity*sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity *= 2;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	//向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

堆的向上调整算法

//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
	HPDataType tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}

//堆的向上调整（小堆）
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)//调整到根结点的位置截止
	{
		if (a[child] < a[parent])//孩子结点的值小于父结点的值
		{
			//将父结点与孩子结点交换
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续向上进行调整
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else//已成堆
		{
			break;
		}
	}
}