【数据结构】树和二叉树

结合《大话数据结构》理解课件PPT

主要内容

1. 树的逻辑结构
2. 树的存储结构
3. 二叉树的逻辑结构
4. 二叉树的存储结构及实现
5. 树、森林与二叉树的转换
6. 哈夫曼树

树的逻辑结构

树： n(n>=0)个结点的有限集合。当n=0时，称为空树；
任意一棵非空树满足以下条件：
（1） 有且仅有一个特定的称为根的结点；
（2） 当n>1时，除根节点之外的其余结点被分成m(m>0)个互不相交的有限集合T1,T2,...,Tm,其中每个集合又是一棵树，并称为这个根节点的子树。
树的定义是采用递归方法

树与非树结构

树的其他表示

嵌套表示、广义表表示、凹入表示

树的应用举例——文件结构

树的基本术语

结点的度：结点所拥有的子树的个数。
树的度：树中各结点度的最大值。（即不考虑根节点外的各节点拥有的最大分支数）
叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。
分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。
孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；
兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。

路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。
祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。
结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。
树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。
层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。

有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。
数据结构中讨论的一般都是有序数
森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。
同构：对两棵树，若通过对结点适当地重命名，就可以使这两棵树完全相等（结点对应相等，结点对应关系也相等），则称这两棵树同构。

同构_补充：给定两棵树T1和T2。如果T1可以通过若干次左右孩子互换就变成T2，则我们称两棵树是“同构”的。

树结构和线性结构的比较

ADT Tree

树的遍历操作

树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
访问：抽象操作，可以是对结点进行的各种处理，这里简化为输出结点的数据。
遍历的实质：树结构（非线性结构）->线性结构。
如何理解次序：树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次）遍历三种方式。

前序遍历

前序遍历序列： A B D E H I F C G
定义：若树为空，则空操作返回；否则
（1） 访问根节点；
（2） 按照从左到右的顺序前序遍历根节点的每一棵子树。

后序遍历

后序遍历序列： D H I E F B G C A
定义：若树为空，则空操作返回；否则
（1） 按照从左到右的顺序前序遍历根节点的每一棵子树；
（2） 访问根节点。

层序遍历

层序遍历序列： A B C D E F G H I
定义：从树的第一层（即根结点）开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

二叉树

二叉树

定义：二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
（1） 每个结点最多有两棵子树；
（2） 二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒。
注意：二叉树和树是两种树结构。
二叉树的基本形态：

具有3个结点的树和具有3个结点的二叉树的形态

特殊的二叉树

斜树

定义：

1. 所有结点都只有左子树的二叉树称为左斜树；
2. 所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树；
3. 左斜树和右斜树统称为斜树。
   斜树的特点：
4. 在斜树中，每一层只有一个结点；
5. 斜树的结点个数与其深度相同。

满二叉树

定义：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。
满二叉树的特点：

1. 叶子只能出现在最下一层；
2. 只有度为0和度为2的结点；
   满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数最多
   满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点个数最多

完全二叉树

定义：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同。

完全二叉树的特点：

1. 叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部；
2. 完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。
3. 深度为k的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。

二叉树的基本性质

性质1：二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点（i>=1)。
性质2：一棵深度为k的二叉树中，最多有2^k-1个结点，最少有k个结点。

性质3：在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则有: n₀＝n₂＋1。
性质3可得：在有n个结点的满二叉树中，有(n+1)/2个叶子结点。

完全二叉树的基本性质

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log₂n|+1（|x|表示不大于x的最大整数）。
性质5：对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则对于任意的序号为i（1≤i≤n）的结点（简称为结点i），有：
(1)如果i＞1，则结点i的双亲结点的序号为 i/2；如果i＝1，则结点i是根结点，无双亲结点。
(2)如果2i≤n，则结点i的左孩子的序号为2i；
如果2i＞n，则结点i无左孩子。
(3)如果2i＋1≤n，则结点i的右孩子的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则结点i无右孩子。
性质5表明：在完全二叉树中，结点的层序编号反映了结点之间的逻辑关系。