找到一个数的最低二进制位（lowbit）

Lowbit 技巧详解：高效分离整数的二进制幂

一、 核心功能

lowbit 技巧是一种高效的位运算操作，其核心功能是快速获取一个整数在二进制表示中，位置最低的那个“1”所代表的数值。

例如，对于整数 12：

• 其二进制表示为 1100。
• 它最低位的“1”在第三位（从右数，值为 2^2）。
• 因此，lowbit(12) 的结果就是 4。

这个技巧常用于需要逐个处理二进制位“1”的场景，如树状数组（Fenwick Tree）和一些特定的算法问题中。

二、 原理：n & -n

lowbit 操作的实现非常简洁，仅需一行代码：

int lowbit = n & -n;

负数的二进制补码表示

一个正整数 n 的负数 -n 在计算机中的表示过程如下：

1. 按位取反：将 n 的二进制表示中所有的 0 变为 1，1 变为 0。这个操作用 ~n 表示。
2. 加一：将取反后的结果加 1。

所以，-n 在数学上等同于 ~n + 1。

以 n = 12 为例

让我们通过一个具体的例子，看看 12 & -12 是如何得到 4 的。

1. n = 12 的二进制表示
   我们以8位二进制为例：

   n = 00001100
   

2. 计算 -n (即 -12)

   • 步骤一：按位取反 ~n

       00001100  (12)
     ~ --------
       11110011  (~12)
     

   • 步骤二：加一 ~n + 1

       11110011
     + 00000001
     ----------
       11110100  (-12 的二进制补码表示)
     

3. 执行核心操作 n & -n
   现在，我们将 n 和 -n 的二进制表示进行按位与（&）操作。只有在两个数中对应位都为1时，结果的该位才为1。

       00001100  (n = 12)
     & 11110100  (-n = -12)
     ----------
       00000100  (结果)
   

4. 结果解读

   • 二进制 00000100 转换回十进制就是 4。
   • 回顾 n = 12 的二进制 00001100，它最低位的那个 1 确实代表 2^2 = 4。
   • 因此，12 & -12 成功地分离出了这个值。

---

三、 循环应用：分解整数为2的幂之和

利用 lowbit 技巧，我们可以轻松地将一个整数分解成多个2的幂的和。