一元二次方程根的判断

实系数方程

对于一个形如 \(ax^2+bx+c=0\) 的一元二次方程，我们定义：

\(delta=b^2-4ac\)

• $ delta>0 $ 时，该方程有两个不相等的实数根。

• $delta=0 $ 时，该方程有两个相等的实数根。

• $delta<0 $ 时，该方程有两个复数根，且复数根互为共轭复数。

实系数方程有且只有这三种根的情况。

复数根证明：

∵ $delta<0 $

∴ \(-delta>0\)

设 \(Z\) 为方程的根，则 \(Z=\frac{-b\pm \sqrt{delta}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{-delta·(-1)}}{2a}=\frac{-b\pm i\sqrt{-delta}}{2a}\)

即：

\(Z = \frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{-delta}}{2a}i\)

是共轭复数，实部为：\(\frac{-b}{2a}\) ， 虚部为： \(\pm \frac{\sqrt{-delta}}{2a}\) 。

虚系数方程

对于一个形如 \(x^2+(a+bi)x+(c+di)\) 的虚系数方程

• \(b=d=0，a^2-4c≥0\)， 有两个实根

• \(b=d=0，a^2-4c<0\)， 有两个共轭的复数根

• \(b≠0，d^2-abd+b^2c=0\)， 有一个实根一个复数根

• \(b≠0，d^2-abd+b^2c≠0\) 或 \(b=0，d≠0\)， 有两个不共轭的复数根

以上是虚系数一元二次方程的判别式，我们在使用时通常应先将二次项系数化为 \(1\) 方便计算。

该判别式具体证明来自于臧龙光的文章：复系数一元二次方程的根的判别--《数学通报》1981年11期 (cnki.com.cn)