PDF修改集合定义与证明

PDF 修改集合：审读修订、结构证明缺口与底层事实

修订：v2，依据用户提供的修改交接报告。PDF 结构修改集合完备性尚未证明，原任务尚未完成。旧版完整顶层文件已另存于修订追踪目录。

1. 研究对象与结论强度

A 将敏感 PDF D 提供给 B，并登记受限内容与授权材料；B 可能恶意修改并向 C 转发加密后的 D′。S 在释放前核验，不允许在服务器任何执行区域出现正文。本阶段只处理加密前 PDF 的修改空间；不声称 S 已具备对密文执行这些分析的能力。

第一阶段要求：D′ 若保留 D 中任意一张完整敏感页的内容，应被识别。增页、删部分页、重排、字体修改、覆盖、断开页面引用均为明确需求。片段级、翻译和语义改写不是本阶段承诺。

本包必须区分三层，不用第一层替代第二层：

标识	命题	v2 定位
THM-PMC-001	任意有限字节串可经插入、删除变为任意目标串	保留原编号便于追溯；仅为通用字节表示事实，不是 PDF 结构操作基的证明
OPEN-PMC-002	用户范围内每种 PDF 结构/编码修改可由明确合法的结构操作组合覆盖	核心任务未完成；结构模型、操作前置条件及覆盖证明尚缺
OPEN-PMC-001	范围内所有保留敏感页的变换均能被正确识别	未完成；还需要内容解释、完整遍历及页面等价
THM-PMC-002（撤出主论证）	保存原字节后可取回原字节	旧命题虽为恒等事实，但不提供结构重建、解析或密文检测保证；降为 LOCAL-PMC-001 本地保全原则

2. 通用字节表示（仅为背景事实）

2.1 字节串与操作

令字节字母表 Σ={0,…,255}，Σ* 为所有有限字节串。位置从 0 开始；x[a:b] 为左闭右开切片。长度记作 |x|。

对 x∈Σ* 定义偏函数：

Insert(i,b)(x) = x[0:i] || b || x[i:|x|]
前置条件：0 ≤ i ≤ |x|，b ∈ Σ。

Delete(i)(x) = x[0:i] || x[i+1:|x|]
前置条件：0 ≤ i < |x|。

记基本操作族为 E。E* 包含空序列及任意有限操作序列；一条序列只在每步位置都合法时可执行，应用结果写作 Apply(α,x)。因此，“两种操作”是两种参数化操作模式，不是只有两个固定函数，也不是有限的测试样本集合。

常用块操作作为缩写：

Splice(i,k,y)：在当前位置 i 连续 Delete(i) 共 k 次；
随后对 j=0,…,|y|-1 执行 Insert(i+j,y[j])。

替换是 Splice(i,1,[b])；插入/删除一段是相应块操作。移动或复制需要先明确目标字节序列，再构造编辑序列；不得忽略删除后坐标变化。拆分、合并、对象重编号等不是 E 的额外原语。

2.2 范围限制不是靠基本操作自动实现的

U₁₇ 表示选定的 PDF 1.7 合规终点文件集合（包含其文件内历史字节），不要求修改后仍可选中文字。此处不实现 U₁₇ 的判定器，也不假设某个阅读器能打开就等于符合规范。

Ω 是用户允许的高层结构与编码变换的威胁模型：排除文字转图片、文字转轮廓、自定义隐写及内部再次加密；纳入标准结构和编码、隐藏/孤立/历史内容。记 AllowedΩ(D,D′) 为存在范围内高层变换的关系。这个关系不能仅由 Insert/Delete 的名称识别，也未被本文构造成可判定程序。

旧版使用以下记号。本版仅为追溯保留，它不是已经构造出的结构修改集合：

MΩ(D) = { α ∈ E* : Apply(α,D) 有定义，
          Apply(α,D) ∈ U₁₇，且 AllowedΩ(D,Apply(α,D)) }

AllowedΩ 是尚未完成的范围接口。先用它筛选目标，再证明目标可表示，只会证明一个条件化的字节命题，不能证明允许修改关系本身已完整定义。MΩ 不得作为“已找到完备 PDF 结构修改集合”的交付结果。

中间字节串可以不是有效 PDF，也不要求每一步都保留敏感页。这些步骤是结果差异的数学表示，不声称是 B 实际使用的编辑历史。如果要求每个中间状态都有效且保留敏感页，需要另立定理。

3. 底层事实 THM-PMC-001：字节编辑生成能力

3.1 构造证明与限定用途

对任意 x,y∈Σ，存在 α∈E，使 Apply(α,x)=y。

证明。设 |x|=m、y=y₀…yₙ₋₁。先执行 m 次 Delete(0)：第 k 次前串长为 m-k+1，位置 0 合法；m 次后得到空串。再依次执行 Insert(0,y₀)、Insert(1,y₁)、…、Insert(n-1,yₙ₋₁)。第 j 次插入前，串长为 j，末端位置 j 合法；归纳可得插入后的串为目标前缀。完成后恰为 y，总步数为 m+n，有限。空文件情形由零次操作覆盖。证毕。

推论。取 x=D，取任意满足 U₁₇ 和 AllowedΩ 的 D′，同一构造给出到达 D′ 的字节序列。因此范围内每个目标都可表达。该结论不依赖是否已列出对应的编辑器命令。

组合闭包。若 α 把 x 变为 y，β 把 y 变为 z，拼接序列 α·β 把 x 变为 z。对任意有限条可执行序列归纳成立。这证明结果编辑的有限组合覆盖，不证明语义约束在任意组合下自动保持。

3.2 该证明没有完成什么

删除后重建是存在性构造，不是推荐算法、不证明最少步骤，也不说明编辑者实际做了什么。所有有限文件都可相互变换，故“可由 D 修改得到”不能用来证明来源、抄袭、敏感页保留或违规。

一个恒定输出“无敏感内容”的检测器与上述定理完全兼容。因此不能从生成完备性推出检测完备性。

4. 明文位置、结构注释和本地保全

4.1 固定符号，避免明密文混用

D 和 D′ 始终表示明文 PDF 字节；ct 表示给 C 的实际待发密文。Prove_A 表示 A 的登记材料，Aux_B 表示 B 的辅助材料，二者不是已经选定的承诺或证明系统。ParseAnnotation(D′) 是结构注释的暂称，不再用与参与者 A 重名的 A(x)。

参与者/位置	已知或可持有的数据	不得默认的能力
A 本地	原始明文 D、指定敏感页、授权依据；可生成 Prove_A	登记真实性为既定信任前提，不代表 Prove_A 足够完成检测
B 本地	D、D′、加密所需材料；可计算结构注释并生成 ct、Aux_B	B 可能作弊；本地算出的注释不是可信或完整证据
S 服务器	ct、经隐私审查允许的 Prove_A/Aux_B、公开参数、授权及行为信息	不能持有 D/D′、提取正文、可重建正文的材料或解密正文所需秘密；TEE 也不能接触正文
C 接收端	获准转发的 ct 及相应解密能力，解密后得到 D′	是否与 B 串通、是否使用受控客户端尚未确认

当前尚未给出材料泄漏函数；“不含原始 PDF”不保证 Prove_A 或 Aux_B 不泄漏正文。允许的命中结果、标识、长度和行为信息需分别界定，不能借符号命名宣称安全。

4.2 ParseAnnotation 的地位

候选产生位置为 B 本地或独立研究端的明文分析环境；S 不直接解析明文。结构注释可能含文字、字节片段和资源，因此原始注释不能默认直接提交 S。产生者、输入文件、解析版本、覆盖范围、失败与歧义均须可追溯，但本版不规定实现格式。

结构注释需区分物理对象实例与修订版本（§7.5.6）、当前有效对象与页面树可达对象、局部资源及继承（§7.8.3、§7.7.3.4），以及原始存储和解码结果（§7.3.8、§7.4）。这些是要求，不是已完成的解析器。

B 可遗漏敏感对象、错用资源版本或替换输入。未来 S 必须核验注释衍生材料的完整性、正确性及与 ct 的绑定；尚无实现或证明。简单扫描 obj 或 endstream 也不能证明无遗漏。

4.3 撤回 THM-PMC-002 的核心证明地位

旧式 Representation(x)=(x,A(x))、Recover(x,a)=x 只投影已保存的原字节，不是从 a 重建文件。THM-PMC-002 保留为历史编号，状态改为 RETIRED_AS_CORE_ARGUMENT。

替代为 LOCAL-PMC-001：持有明文的一方可在本地保全输入文件，避免清理或重写丢失原始材料。本原则不要求 S 保存明文；不得把 x 在同一论证中切换成密文后继续套用。若 S 仅保全 ct，也只能证明密文字节未变，不能证明内容已被完整检查。

这项处理原则没有证明解析正确、检测完整、隐私安全或实际发送绑定。

5. 六组结构标签与依据

标签	作用位置	规范锚点	覆盖用途与限制
L1	对象、字典、数组、基本值	§7.3	描述值的增删替换；不是所有键的语义都已核验
L2	Catalog、页面树及资源引用	§7.3.10、§7.7.2–7.7.3、§7.8.3	描述重排、断引用、继承变化；当前可达性不代表物理存在性
L3	内容流操作数、指令与绘制状态	§7.8.2、§8.5.4、§9.3.6、§9.4.3	描述文字拆合、遮挡、不可见、裁剪；不能以最终画面代替完整检查
L4	字体映射、Form XObject 等解释资源	§8.10.1、§9.10、§14.9.4	描述表示与语义的关系；Unicode、字形、阅读顺序尚未统一
L5	过滤器、物理排布、对象流、交叉引用	§7.4、§7.5.3–7.5.8	描述重编码和重打包；必须遵守对象流类型限制
L6	历史修订、孤立内容、附件、元数据等	§7.5.6、§7.11.4、§14.3.2	描述内容位置；任意附件的语义恢复未承诺

补充检查中，§7.8.2 还明确内容流可用于图案、某些字体和批注外观；§12.5.5 定义批注外观流。上述标签允许交叉，例如批注外观同时属于 L2/L3/L4。没有把这六组作为互斥分割，也没有对全部标准语义逐项穷尽的证明。

6. PDF 结构修改集合：尚待重建的证明

6.1 为什么现有材料不足

六组标签描述修改可能作用的位置；Insert/Delete 描述文件字节怎样改变。两者之间尚无“结构操作及其合法组合”的定理。现有案例中的“插入对象、更新引用”仍是操作意图，没有完整前置/后置条件。

现阶段可以提出结构模型的必要组成，但不能称为已定义好的模型：对象实例及类型、版本化引用和入口、具有作用域的资源、内容指令与状态、编码存储及历史修订。必须覆盖用户要求的隐藏和孤立内容，不能只取当前可达对象图。

6.2 完成 OPEN-PMC-002 至少需要的证明链

义务	应建立的内容	本次状态
独立结构模型	精确定义结构状态、引用/继承/修订一致性及到真实 PDF 的对应	未完成；不能把现成解析器输出等同于全部结构
结构操作基	明确局部操作的输入、读写位置、前置/后置条件和依赖更新	未完成；不以“替换整个文件”为语义完备性捷径
合法性与组合	明确原子修改、事务内部暂态、提交时应成立的不变量	未完成；字节中间态可非法不等于结构步骤合法
语法和功能覆盖	逐条说明允许的结构/编码变换如何被分解，如何处理未知扩展	PDF 1.7 已有部分条款锚点，未遍历全部语义
覆盖定理	从独立定义的允许变换推出存在合法操作序列，证明所保留的结构关系	未完成；不能用“由该操作基生成的变换”循环定义欲覆盖全集

形式上的目标可以写作：对独立界定的允许高层变换 T 和结构状态 s，存在 τ₁…τₖ，使每个提交状态满足明确结构不变量，且结果在明确的结构等价关系下对应 T(s)。这只是目标式；状态、T、τ、不变量、等价关系均须先落到实际定义，才能写“证毕”。

6.3 不得静默添加的假设

用户允许强制转发协议，不等于已经授权禁止所有难处理的 PDF 特性。不强制 D′ 仍能提取 Unicode。B/C 串通及 C 客户端控制、font 的具体字段、整页内容等价均未定；现阶段保留缺口，不替用户补成有利于证明的前提。

7. 敏感页保留关系：单独的未完成义务

A 指定敏感页集合 P_A(D)。对一个尚待固定的内容解释规范 θ，定义：

Retainθ(D,D′) ⇔ 存在 p∈P_A(D)，使 D′ 中存在按 θ 可重构的内容 c，
                 且 Equivalentθ(c,p) 成立。

θ 至少需要规定：整页文字与布局如何计入、字体映射与字形冲突时采用什么依据、跨对象的内容如何组合、隐藏/历史对象依赖哪个版本的资源、嵌入 PDF 如何递归检查、公共模板或独立同内容如何处理。该公式是证明接口，不是已完成的判定算法；不能通过把任意无法解释情况排除于 Retainθ 来偷换用户需求。

为避免误报结论，分析状态使用 HIT / NO_HIT / UNKNOWN：确定命中为 HIT；只有约定范围已完整检查且未命中才可称 NO_HIT；解析不全、缺资源、字符解释歧义或尚未覆盖结构为 UNKNOWN。它们是本包的分析用语，不是已实现的服务 API。

若未来声称无漏报，至少须证明：对所有范围内 D′，Retainθ(D,D′) ⇒ Detector(D′)=HIT。若只证明“不会错误输出 NO_HIT”，允许 UNKNOWN，则是更弱性质。全部返回 HIT 虽无漏报，却失去区分能力，仍需单独讨论误报。

局部删除但仍保留整张敏感页属于正例；所有敏感内容真正移除属于反例。仅存在页字典但内容流或关键资源丢失，不足以断言整页内容仍保留。相同内容本身也不证明它来源于 A。

8. 检测与处置的边界

S 不见明文、输入绑定、检测材料完整性、实际转发控制都是后续协议义务，不由本文定理解决。即使零知识证明保证某程序正确执行，也不保证程序的内容语义和遍历范围完整。

缺少材料时按 B 的行为风险放行，只能记为风险放行，不能记为内容已核验。验证失败与不符合协议的拒绝，也不自动证明敏感内容存在。受控通道之外的绕过不在检测保证内。

RQ2 对应 A 的身份、受限内容和授权存证；RQ3 对应实际转发内容及修改的可观测证据；RQ4 对应内容、授权及不确定性共同驱动的处置。RQ1 仍为背景版图。本次仅为这些环节提供修改空间论证，不建立完整安全协议。

9. 当前可引用结论

可以引用：“本包保留了 PDF 1.7 的相关规范证据及修改案例。通用字节编辑可表达任意有限文件，但 PDF 结构修改集合及敏感页检测的完备性均尚未证明。”

不可将 THM-PMC-001 用作 PDF 结构完备性的结论；不可将原 THM-PMC-002 用作 S 不见明文时仍可完整检测的结论。已有 29 条来源论断和 26 个案例是证据与分析素材，不是核心任务完成的凭据。