高中不讲但有点用，啥子也能看懂的微积分入门！

本文会介绍一些高中老师不讲，但对于高中数学物理有一定帮助的（一元函数）微积分基础，由于笔者能力非常有限，大多数不会，略去了大量证明，而且理解较为浅薄，逻辑可能混乱，若有勘误希望读者指出。

（笔者默认读者已经学完高中数学）本文参考《Art Of Problem Solving: Calculus》，《高等数学》同济版，以及 B 站 宋浩老师 的网课。

0. 背景

\[(木板)'=木棍 \]

\[(木板)''=(木棍)'=木屑 \]

\[\int 木板 = 木箱 + C \]

顾名思义，“微”就是分成小段，“积”就是把小段累加起来。微积分的思想很自然，在生活和物理中很常见，它的前身是“微元法”。

比如，要计算区间上一个函数 \(f(x)\) 与 \(x\) 轴围成的图形的面积，我们会把它分割成 \(n\) 条矩形，每个矩形分别求面积（有多种计算方法）再累加。

当 \(n\) 越来越大的时候，每个矩形越来越窄，高度越来越接近 \(f(x)\)，矩形组成的图形也越来越接近原来的图形，这就是微积分的思想。

我们经常写的 \(\sum v\Delta t=x\) 也是这个道理。

要了解微积分，首先，也是最重要的，要了解极限。

1. 函数的极限与连续

高中数学书只把极限当作符号，不讲连续就直接讲导数，全在背公式，这也太难受了！

1.1 极限

直觉上理解，极限就是函数 \(f(x)\) 在 \(x(x\in \mathbb{R})\) 处“靠近”某个值 \(c(c \in \mathbb{R})\)。

例 1.1.1

考虑函数 \(f(x)=x+1\) 和 \(g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\)。 这两函数有什么不同？
有且仅有定义域不同，\(g(x)=x+1(x\neq1)\)。在图像上呈现，就是“挖掉了” \((1,2)\)。

显然，\(g(x)\) 会“接近”\((1,2)\)，我们记作 \(\lim_{x\to 1}g(x)=2\)，读作“当 \(x\) 趋近于 \(1\) 时，\(g(x)\) 的极限为 \(2\)。”

【仅作了解】\(\delta-\epsilon\) 语言

定义：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域中有定义，如果存在常数 \(A\)，对于任意给定的正数 \(\epsilon\)（无论它多么小），总存在正数 \(δ\)，使得当 \(x\) 满足不等式
\(0 < |x - x_0| < δ\)
时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式
\(|f(x) - A| < ε\)
那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限，记作：\(lim_{x→x_0} f(x) = A\)。
这个定义晦涩难懂，曾经折磨了笔者好久，仅作了解即可。
去心邻域：可以理解为 \(x\in(x_0-\delta,x_0)∪(x_0,x_0+\delta)\)。
用人话讲，这个定义的意思就是 对于正数 \(\epsilon\)，若有常数 \(A\) 使得总存在正数 \(\delta\) 使得 \(x \in (x_0-\delta,x_0)∪(x_0,x_0+\delta)\) 时 \(f(x) \in (A-\epsilon,A+\epsilon)\)，则 \(A\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的极限。
可以想象由直线 \(x=x_0-\delta,x=x_0+\delta,y=A-\epsilon,y=A +\epsilon\) 框出来一个“方框”，中心为 \((x_0,A)\)。

注意：\(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 与 \(f(x_0)\) 的值无关，与 \(x_0\) 是否在 \(f(x)\) 定义域内无关。

极限的性质（线性性）和运算：
若 \(\lim_{x\to a}f(x)=M,\lim_{x\to a}g(x)=N\)，

1. \(\lim_{x\to a}(f+g)(x)=M+N\)（和的极限等于极限的和）
2. \(\lim_{x\to a}cf(x)=cM\)
3. \(\lim_{x\to a}(fg)(x)=MN\)（积的极限等于极限的积）
4. \(N\neq 0,\lim_{x\to a}(f/g)(x)=M/N\)（商的极限等于极限的商）

证明使用 \(\epsilon-\delta\) 语言，略。

*单侧极限：从左边趋近的叫做极限，从右边趋近的叫右极限，若左右极限均存在且相等，则存在唯一的双侧极限，我们平常说的极限都是双侧极限。

1.2 连续

直觉上，一个函数连续就是可以“一笔画完”，没有“挖掉的”。严谨的“函数连续”定义如下：

若 \(a\) 为实值函数 \(f(x)\) 定义域内一点，若 \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(a\) 点连续。若 \(f(x)\) 在定义域内处处连续，则 \(f(x)\) 为连续函数。

由极限的四则运算可以推出：

若 \(f(x), g(x)\) 在 \(a\) 点连续，则

\(lim_{x\to a}(f+g)(x)=lim_{x\to a}f(x)+lim_{x\to a}g(x)=f(a)+g(a)=(f+g)a\)

\(cf(x)+dg(x),(fg)(x),(f/g)(x)\)（\(c,d\) 为常数，\(g(a)\neq 0\)）在 \(a\) 点均连续。

介值定理：如果 \(f(x)\) 为闭区间 \([a,b]\) 上连续的实值函数，且 \(f(a)\neq f(b)\)，则必存在 \(c\in(a,b)\)，使得 \(f(c)=y\)，\(y\) 为介于（不包含）\(f(a),f(b)\) 之间的实数。

有界性定理：如果 \(f(x)\) 为闭区间 \([a,b]\) 上连续的实值函数，必有上界 \(M\) 和下界 \(N\)。即 \(\forall x\in [a,b],f(x)\geq N,f(x)\leq M\)。注意开区间不满足。

极值（最值）定理：如果 \(f(x)\) 为闭区间 \([a,b]\) 上连续的实值函数，上界为 \(M\) 下界为 \(N\)，则一定存在 \(f(c)=M, f(d)=N,c,d\in [a,b]\)。即 \(\forall x\in [a,b],f(x)\geq f(d),f(x)\leq f(c)\)。

证明咕咕咕……

2. 导数与微分

2.1 定义

求导最无脑的理解就是求切线斜率，但求直线的斜率必须知道两个点……对吧？我们所熟知的是求割线斜率，设函数 \(f(x)\) 上有两个不同的点 \(P(a,f(a)),Q(b,f(b))\)，则直线 \(PQ\) 的斜率为 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，就是因变量的变化量除以自变量的变化量。

将 \(b\) 写作 \(a+\Delta h\), 那么斜率为 \(\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\dfrac{f(a+\Delta h)-f(a)}{a+\Delta h-a}=\dfrac{f(a+\Delta h)-f(a)}{\Delta h}\)

欸？当 \(\Delta h\) 变小时，两个点慢慢靠近，马上会变成一个点，那样割线不就变成切线了！

当 \(\Delta x\) 即 \(\Delta h\) 极小，趋近于 \(0\) 时，我们将其记作 \(\text{d} x\)，即 \(x\) 的微分，就是极小增量，就是微元法中小矩形条的底边长。此时\(\Delta f(x)\) 记作 \(f\) 的微分 \(\text{d}f\)，就是微元法中下个矩形条与这个矩形条的高度差。此时的斜率就是 \(\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}\)。

于是导数的定义出来了：\(f(x)\) 在 \(P(a,f(a))\) 点的导函数（简称导数，是函数不是数）为 \(f'(a)=\lim_{\Delta h\to 0}\dfrac{f(a+\Delta h)-f(a)}{\Delta h}\)。注意这个公式只有 \(f(x)\) 在 \(a\) 可导 时才能使用。

导数有多种记法，常见的有：

\[f'(x)\ \ \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} \ \ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}f(x) \]

另：注意导数和微分本质不同，不要混淆了，\(f'\text{d}x=\text{d}f\)，\(\text{d}\) 是类似 \(\Delta\) 的求微分符号，不是代表 \(x\) 是主元的符号。

2.2 可导性

在一元函数中，可微和可导等价，就是“可以求微分”。

可导一定连续，但连续不一定可导。

常见的连续但不可导的函数：

1. 有“拐角”的函数，如绝对值函数，在 \(0\) 处不可导，因为绝对值函数的导函数定义域里面没有 \(0\)。
2. \(f(x)\) 在 \(a\) 处切线与 \(y\) 轴平行，切线斜率无定义。

2.3 导数的基本运算

高中课本讲过，但没有进行推导：

• \((f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)\)
• \([cf(x)]'=cf'(x)\)
• \((fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
• \((f/g)'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)

其实只需要按定义就能证明了。

\[\begin{aligned} (f+g)'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h} \\ =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ =f'(x)+g'(x) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} (fg)'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{(fg)(x+h)-(fg)(x)}{h} \\ =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h} \\ =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h} \\ =f(x+h)g'(x)+f'(x)g(x) = f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \end{aligned} \]

最后使用了连续性。

常用导数表

• \(C'=0\)
• \((x^n)'=nx^{n-1}\)
• \((e^x)'=e^x\)
• \((a^x)'==a^{x}\ln a\)
• \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
• \((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\)
• $ (\sin x)'=\cos x $
• $ (\cos x)'=-\sin x $
• $ (\tan x)'=\sec^2 x $
• $ (\cot x)'=-\csc^2 x $

下面证明：

\[ \begin{aligned} (\sin x)'=\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h} \\ = \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x\cos h+\cos x \sin h -\sin x}{h} \\ = \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x(\cos h-1)+\cos x \sin h}{h} \\ = \cos x \end{aligned} \]

注解：\(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, \lim_{x\to 0}\cos x=1\)。

\[ \begin{aligned} (\tan x)'=(\dfrac{\sin x}{\cos x})' \\ =\dfrac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} \\ =\dfrac{\cos ^2 x+\sin ^2 x}{\cos ^2 x} \\ = \dfrac{1}{\cos ^2 x} = \sec ^2x\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} (x^n)'= \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ = \lim_{h\to 0}\dfrac{x^n+nhx^{n-1}+(_2^n)h^2x^{n-2}+\cdots +h^n-x^n}{h} \\ = nx^{n-1}+(_2^n)hx^{n-2}+\cdots+h^{n-1} \\ = nx^{n-1} \end{aligned} \]

用二项式定理，忽略高阶小量。

对于指数对数函数：使用换底公式。

\(a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x\ln a}\)

\(\log_a{x}=\dfrac{\ln{x}}{\ln{a}}\)

2.4 导数的链式法则

3 导数在数学中的应用

3.1 单调性

3.2 凹凸性

3.3 极值

3.4 速度与加速度

4 积分

4.1 定积分的定义

4.2 不定积分

4.3 积分运算法则和公式

5 积分在数学物理中的应用