博弈论基础

昨天考了个博弈论题，发现自己SG函数什么的全忘了，于是重学一遍

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前置知识

必胜点和必败点

◦ P点：必败，换而言之就是谁处于此位置则在双方操作正确的情况下必败。
◦ N点：必胜，处于此情况下双方操作均正确的情况下必胜。

性质

1.所有终结点是必败点P。
2.从任何必胜点N操作， 至少有一种方式可以进入必败点 P。
3.无论如何操作，必败点P都只能进入必胜点 N。

 

以$Nim$游戏为例。nim游戏的规则是这样的：地上有n堆石子，每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

Luogu P2197【模板】nim游戏

通过打表等方法...可以发现，对于一个 nim 游戏的局面 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛，它是 P点当且仅当𝑎1⨁𝑎2⨁…⨁𝑎𝑛=0
暂时不需要知道是怎么算出来的，只要它符合上面的三条性质，就可以证明正确：
1. 终结点只有一种，就是 0,0,…,0，显然符合异或后为 0，为 P点。
2. 对于 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛且𝑎1⨁𝑎2⨁…⨁𝑎𝑛=0，经一次移动后必然到达 𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛，其中𝑏1⨁𝑏2⨁…⨁𝑏𝑛≠0，从而到达 N点。
3. 对于 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛且𝑎1⨁𝑎2⨁…⨁𝑎𝑛≠0，必存在移动方法可以到达P点。

 

nim游戏属于公平组合游戏(Impartial Combinatorial Games)。它的规则如下：

1.有两名选手；　　
2.两名选手交替对游戏进行移动，每次一步，选手可以在有限的合法移动集合中任选一种进行移动；
3.合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作等因素；
4.如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。

有向图移动游戏可以看作所有ICG的抽象模型。也就是说，所有ICG游戏都可以看成：　　
给定一个 DAG 及一个点上的棋子，两名选手交替将沿边移动，无法移动判负。
我们把 NIM 游戏的每一个状态看成点，把这和其可以转移到下连边，那么 NIM 游戏也被抽象成了一个有向图移动游戏。

 

$Sprague-Garundy$函数

定义$mex$(minimal excludant)运算.这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如$mex${0,1,2,4}=3、$mex${2,3,5}=0、$mex${}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的$SG$函数如下：sg(x)=mex{ sg(y) | y是x的后继 }。

首先，所有终结点的SG=0，因为它没有后继节点。
对于一个g(x)= 0的顶点P，它的所有后继y都满足g(y)≠0。
对于一个g(x)≠0的顶点N，必定存在一个后继y满足g(y)= 0。

那么可以发现，顶点为P的充要条件为g(顶点)= 0，这时对于这个游戏有必胜策略。

回到nim游戏，如果把每一堆石子都看作一个DAG，用分治的思想考虑，有必胜策略的条件就是g(G) = g(G1)^g(G2)^...^g(Gn) = 0。

 

步骤

• 把原游戏分解成多个独立的子游戏，则原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
• 分别考虑每一个子游戏，计算其SG值。
  • 可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
  • 可选步数为任意步，SG(x) = x;
  • 可选步数为一系列不连续的数，打表
• sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^...^sg(Gn)。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std;
int t,n,k,ans;

int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        ans = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            scanf("%d",&k);
            ans ^= k;
        }
        if(ans)printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }

    return 0;
}