欧拉路径

“一笔画”问题，对于有向图和无向图

基本概念

对于连通图：

• 欧拉路径：不重复地遍历完所有边
• 欧拉回路：经过欧拉路径回到起点 ，欧拉回路也是欧拉路径
• 半欧拉图：图中存在欧拉路径
• 欧拉图：图中存在欧拉回路，欧拉图也是半欧拉图

非连通图一定没有欧拉路径

判断

先判断是否是连通图

对于非起点和非终点，入这个点的边数需要等于出这个点的边数，才能保证每条边只走一次

无向图

• 存在欧拉路径的充要条件：图中度为奇数的点为0个（欧拉回路）或2个（起点和终点不同）
• 存在欧拉回路的充要条件：图中度为奇数的点为0个

有向图

• 存在欧拉路径的充要条件：图中所有点的出度等于入度（欧拉回路）或起点的出度等于入度加一，终点的入度等于出度加一，非起点和非终点的入度等于出度
• 存在欧拉回路的充要条件：图中所有点的入度等于出度

Hierholzer算法

首先找到一个子回路，并逐步将其他回路合并到该子回路中，最终形成完整的欧拉回路

有向图/无向图的欧拉路径/欧拉回路可以拆成从起点到终点的直线，欧拉路径不唯一

先找到一条不完整的子回路，确定终点，再排除这个点，回溯，找另一个回路，确定终点的上一个点，直到所有子回路找完

1. 选择一个合理的点作为起点，开始dfs，对于欧拉图，找任一点都可以作为起点，对于非欧拉图的半欧拉图，找度为奇数的点（无向图）或出度等于入度加一的点（有向图）作为起点
2. 遍历邻边，经过的边都标记，标记过的边不能访问
3. 若当前遍历的节点没有可走的边，将此节点入栈
4. 遍历完成后将栈边输出边出栈，得到欧拉路径

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如图，每个回路中省略了其它节点

1. 先找到回路1，节点1入栈，回溯到节点3
2. 找到回路2，节点3入栈，回溯到节点4
3. 找到回路3，节点4入栈，依次回溯到节点6，7，5，2，1，并入栈
4. 最终确定1-->3-->4-->6-->7-->5-->2-->1的逆欧拉路径，逆序输出得到欧拉路径

实现

struct edge{
	int u;
	int next;
	int uid;    //边的编号
	bool visited;
}edges[2*MaxE];
vector<int> ans1;    //用点表示路径(逆序)
vector<int> ans2;    //用边表示路径(逆序)

void dfs(int x){
	int u;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edges[i].next){
		if(edges[i].visited)cintinue;
		//若i是偶数,i^1=i+1,若i是奇数，i^1=i-1，根据存边的顺序，边和反向边是一奇一偶的关系，标记边需要将该边的反向边一起标记
		edges[i].visited=edges[i^1].visited=true;
		dfs(edges[i].u);
		ans2.push_back(edges[i].uid);    //由于dfs传参只传点，所以只能在下层dfs结束后收录边
	}
	ans1.push_back(x);
}

对于一个有x条边的点，这个点会被访问x/2次（一次进入一次出去），所以对于有e条边的图，整个图会被遍历e/2次，每访问一个节点，需要遍历所有邻边，所以总的时间复杂度为O(E*(E+V))

优化

每访问过一条边，直接将这条边删掉，就不用每个点都遍历所有邻边

struct edge{
	int u;
	int next;
	int uid;    //边的编号
	bool visited;
}edges[2*MaxE];
vector<int> ans1;    //用点表示路径(逆序)
vector<int> ans2;    //用边表示路径(逆序)

void dfs(int x){
	int u;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=head[x]){
		if(edges[i].visited){    //第二次访问同一条边时执行删除
			head[x]=edges[i].next;    //头删
			continue;
		}
		edges[i].visited=edges[i^1].visited=true;
		//head[x]=edges[i].next    若在第一次访问后就删边，删不掉反向边，若是有向图可以在访问后直接删
		dfs(edges[i].u);
		ans2.push_back(edges[i].uid);
	}
	ans1.push_back(x);
}

时间复杂度O(E+V)

求字典序最小的欧拉路径

由于dfs是先遍历到的点后入栈，所以先遍历到的点在欧拉路径中靠前，所以需要尽可能先遍历编号小的点，需要对每个点的出度排个序（小到大）