前缀和&差分

前提：数组从下标1开始存，下标为0的位置初始化为0

前缀和

前缀和数组和储存数据的数组长度一样
一般用来对数组预处理，多用于求区间和

一维

第i个位置储存前i个数之和

sum[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]
sum[i]=sum[i-1]+a[i]

for(int i=1;i<=n;i++){
	sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}

• 计算从位置a[l]到a[r]的区间元素之和：sum[r]-sum[l-1]

二维

sum[i][j]表示以mat[1][1]为左上角，mat[i][j]为右下角的子矩阵的所有元素之和

sum[1][1]=mat[1][1];
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		//容斥原理
		sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+mat[i][j];
	}
}

• 计算以mat[x1][y1]为左上角，mat[x2][y2]为右下角的矩阵中所有元素之和：sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1]

差分

差分是前缀和的逆运算
多用于实现区间修改

一维

1. 先求原数组a[]的差分数组diff[]，a[]是diff[]的前缀和数组，所以diff[i]=a[i]-a[i-1]
2. 要实现数组区间a[l]到a[r]上每个数加k，等效于diff[l]+=k，diff[r+1]-=k
3. 通过差分数组diff[]还原新的原数组：a[i]=a[i-1]+diff[i]

差分标记数组diff[]：初始时diff[]的值全部为0，在diff[]上进行修改操作，然后对diff[]求前缀和 得到sum[]，sum[i]是a[i]的修改量，在原a[]上再加上sum[]，才可得到修改后的a[]

空间优化：

求完差分数组之后求原数组，直接在差分数组的基础上，把差分数组当成原数组进行计算，不需要开额外的空间存原数组

for(int i=1;i<=n;i++){
	diff[i]+=diff[i-1];
}
//最后得到的diff数组就是原数组

二维

1. 先求原数组mat[][]的差分数组diff[][]，diff[i][j]=mat[i][j]-mat[i-1][j]-mat[i][j-1]+mat[i-1][j-1]
2. 要实现以mat[x1][y1]为右下角，mat[x2][y2]为左上角的矩阵中所有元素都加k，等效于diff[x1][y1]+=k，diff[x1][y2+1]-=k，diff[x2+1][y1]-=k，diff[x2+1][y2+1]+=k
3. 通过差分数组diff[][]还原新的原数组：mat[i][j]=mat[i-1][j]+mat[i][j-1]-mat[i-1][j-1]+diff[i][j]