圆方树/仙人掌树 学习笔记

圆方树

圆方树最初是处理「仙人掌图」（每条边在不超过一个简单环中的无向图）的一种工具，不过发掘它的更多性质，有时我们可以在一般无向图上使用它。

在圆方树中，原来的每个点对应一个 圆点，每一个点双对应一个 方点。

共有 \(n+x\) 个点，\(n\) 个圆点，\(x\) 个方点，其中 \(x\) 是点双连通分量的数量。

计算 \(\text{dfn,low}\) 可以使用 \(\text{Tarjan}\) 算法。

如何建树

对于每个点双连通分量，我们新建一个方点，对于点数连通分量中的每一个点，与其连边。最后重构图即可。

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例题:

P5236

考虑建立圆方树。

我们发现，本题等价于求两点到 \(\text{LCA}\) 的距离。但怎么设置边权？

对于每个点，我们求出他到方点的父亲的距离作为边权即可。

CF487E

还是建立圆方树，用数据结构维护路径最小值。

但是更改太多了，我们可以维护每一个方点的儿子中，点权的最小值。维护只需要对于每个方点开 \(\text{multiset}\) 即可。