BZOJ 2301 Problem b

Description

对于给出的\(n\)个询问,每次求有多少个数对\((x,y)\),满足\(a \le x \le b,c \le y \le d\),且\(gcd(x,y) = k\)\(gcd(x,y)\)函数为\(x\)\(y\)的最大公约数。

Input

第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示\(a,b,c,d,k\)

Output

\(n\)行,每行一个整数表示满足要求的数对\((x,y)\)的个数。

Sample Input

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

Sample Output

14
3

HINT

\(100\%\)的数据满足:\(1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1 \le c \le d≤50000,1 \le k \le 50000\)

板子题。
首先我们学会求\[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j) = k]\]
那么题目所求就可以用容斥原理来解决了。
这个式子可以化为\[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M}[gcd(\lfloor \frac{i}{k} \rfloor,\lfloor \frac{j}{k} \rfloor) = 1] = \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{k} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{M}{k} \rfloor}[gcd(i,j)=1]\]
利用莫比乌斯反演\[\sum_{i \mid N} \mu(i) = [N = 1]\]
那么式子就可以化简为\[\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{k} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{M}{k} \rfloor}\sum_{t \mid i \land t \mid j} \mu(t)\]
先枚举\(t\),就可以得到\[\sum_{t=1}^{min(\lfloor \frac{N}{k} \rfloor,\lfloor \frac{M}{k} \rfloor)}\mu(t)\lfloor \frac{\lfloor \frac{N}{k} \rfloor}{t} \rfloor \lfloor \frac{\lfloor \frac{M}{k} \rfloor}{t} \rfloor\]
然后就可以计算\(\mu\)的前缀和,进行\(\sqrt{N}\)分段了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define maxn 100010
int mu[maxn],prime[maxn],tot; bool exist[maxn];

inline void ready()
{
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= 50000;++i)
    {
        if (!exist[i]) prime[++tot] = i,mu[i] = -1;
        for (int j = 1;j <= tot&&i*prime[j] <= 50000;++j)
        {
            exist[i*prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) { mu[i*prime[j]] = 0; break; }
            mu[i*prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1;i <= 50000;++i) mu[i] += mu[i-1];
}

inline int work(int a,int b,int k)
{
    a /= k; b /= k;
    if (a > b) swap(a,b);
    int ret = 0,pos;
    for (int i = 1;i <= a;i = pos+1)
    {
        pos = min(a/(a/i),b/(b/i));
        ret += (mu[pos]-mu[i-1])*(a/i)*(b/i);
    }
    return ret;
}

int main()
{
    freopen("2301.in","r",stdin);
    freopen("2301.out","w",stdout);
    ready();
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        int a,b,c,d,k,ans;
        scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&c,&d,&k);
        ans = work(a-1,c-1,k)+work(b,d,k)-work(a-1,d,k)-work(b,c-1,k);
        printf("%d\n",ans);
    }
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}
posted @ 2015-07-08 19:41  lmxyy  阅读(...)  评论(...编辑  收藏