Atcoder Regular Contest 060 F题第一问答案证明

一切的开始

\(x\) 为字符串,\(p\) 为正整数。如果对于满足 \(0\le i<|x|−p\) 的任何整数 \(i\) 满足 \(x[i]=x[i+p]\),则 \(p\) 称为 \(x\) 的周期。\(x\) 的最小周期表示为 \(per(x)\)。例如,\(per(abcabcabcab)=3\)

\(N\) 为输入字符串 \(w\) 的长度。 情况划分如下:

(a)如果 \(w\) 是一个好的字符串(例如 \(w=ababa\)
(b)当 \(per(w)=1\) 时(例如 \(w=aaaaa\)
(c)其他情况(例如 \(w = abcabcabc\)

在(a)的情况下,最佳表达明显为 \(1\),最佳表达的为 \(1\)
在(b)的情况下,最佳表达为 \(N\),最佳表达的为 \(1\)
在情况(c)中,我们可以证明最佳表达为 \(2\)(请参见下面的定理 \(5\))。

定理 2

\(\text{KMP}\) 或者 \(\text{Z-Algorithm}\) 可知,如果正整数 \(p,q\) 是字符串 \(x\) 的周期,且 \(p+q-\gcd(p,q)\le |x|\),则 \(gcd(p,q)\) 也是 \(x\) 的周期。

引理 3

\(x\) 为非空字符串,以下两个是等效的。

(i) \(x\) 不是好的字符串

(ii) \(|x|/per(x)\)\(2\) 或更大的整数。

首先,如果 (ii) 成立,那么 (i) 肯定成立,所以在下文中 (i) 就是 (ii) 。

如果 \(x\) 不是一个好的字符串,\(|x|/per(x)\ge 2\) 从定义来说显而易见。接下来我们只需要证明 \(|x|/per(x)\) 是一个整数,\(x\) 不是一个好的字符串意味着存在一个字符串 \(y\) 和一个整数 \(k\ge 2\),使得 \(x\)\(y\) 重复 \(k\) 次后获得的字符串。令 \(p=per(x),q=|y|\),则 \(p\le q=|x|/k\le |x|/2\),由于 \(p,q\) 都是 \(x\) 的周期,且满足 \(p+q-\gcd(p,q)\le |x|\),由定理 \(2\) 知,\(\gcd(p,q)\)\(x\) 的周期,假设 \(|x|/per(x)\) 不是整数,则 \(q\) 不是 \(p\) 的倍数,此时 \(\gcd(p,q)<p\),这与 \(p=per(x)\)\(x\) 的最小周期相悖,因此 \(|x|/per(x)\) 是一个整数。

引理 4

\(x\) 为长度为 \(2\) 或更大的字符串。令 \(m=|x|\)。此外,令 \(y=x [1...m − 1]\)。如果 \(x\) 不是一个好的字符串,并且 \(per(x)\not=1\),则 \(y\) 是一个好的字符串。

假设 \(y\) 不是一个好的字符串。令 \(p=per(x),q=per(y)\)。根据引理 \(3\) 和之前的假设,\(p\)\(m\) 的约数,\(q\)\(|y|=m-1\) 的约数。因为 \(m\)\(m-1\) 互质,因此 \(p\)\(q\) 也互质,即 \(\gcd(p,q)=1\),此外,\(p\le m/2,q\le(m-1)/2\),其中 \(p\) 也是 \(y\) 的周期,因此,根据定理 \(2\)\(\gcd(p,q)=1\)\(y\) 的周期,因此从 \(x[0]=x[p]\) 开始,\(x\) 的最后 \(m-1\) 个字符全部变为与 \(x[0]\) 相同的字符,此时 \(per(x)=1\),这与前提矛盾,故 \(y\) 是一个好的字符串。

定理 5

对于一个字符串 \(w\),假设 \(w\) 不是一个好的字符串,并且 \(per(w)\not=1\)。 此时,\(w\)的最佳表达为 \(2\)

长度为 \(1\) 的字符串显然是一个好的字符串。 此外,根据引理 \(4\)\(w[1...|w|−1]\) 是一个好的字符串,因此序列\((w [0],w[1...|w|-1])\)\(w\) 是最佳表达之一。 显然,\(w\) 没有1或更小的最佳表达。则 \(w\) 的最佳表达为2。

posted @ 2019-09-29 19:08  QwQGJH  阅读(128)  评论(0编辑  收藏  举报