[BZOJ1101&BZOJ2301][POI2007]Zap [HAOI2011]Problem b|莫比乌斯反演

对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d。

 

  我们可以令F[n]=使得n|(x,y)的数对(x,y)个数

  这个很容易得到,只需要让x,y中都有n这个因子就好了,也就是[a/n]*[b/n]个数对(向下取整)

  然后设题中所要求的为f[n],很容易得知,F[n]=∑f[d](n|d)

  莫比乌斯反演可以得到f[n]=∑μ(d/n)F[d](n|d)

  这样是O(n),然而数据范围5*10^4显然不能通过

  f[n]=∑μ(d/n)[a/d][b/d](n|d)

  这个式子停止的条件是a/d=0或者b/d=0

  令m=min(a/n,b/n)

  f[n]=∑μ(i)[a/(i*n)][b/(i*n)](1<=i<=m)

  然后可以通过一些方法证明[a/(i*n)] = [[a/i]/n]

  毕竟弱.证明得这么差..

  证明:[n/(a*b)]=[[n/a]/b]

  设[n/a]=(n-x)/a (x<a)

  设[[n/a]/b]=((n-x)/a-y)/b (y<b) 

  [[n/a]/b]=(n-x-ay)/ab,设[n/(a*b)]=(n-e)/ab

  设二者不等,即(n-x-ay)/ab+t=(n-e)/ab(t>=1)

  x+ay=e+tab

  x-e=a(tb-y)

  ∵a>0,b>y ∴a(tb-y)>0

  而x是n/a的余数,e是n/ab的余数,显然e>=x,x-e<=0,矛盾

  所以[a/(i*n)] = [[a/i]/n]

  然后直接枚举每一个可能的[a/(i*n)][b/(i*n)]的取值就好了

  莫比乌斯函数用前缀和累计

  BZOJ1101交了22发...创了个人记录啊..

  Pas错误不明..后来改用C++,是因为!i mod prime[j]这里没有加括号..用==0就不会错了...

 

  BZOJ2301

  容斥将一个问题拆分成四个子问题即可

 

 

  

posted @ 2015-05-06 13:50  mjy0724  阅读(...)  评论(...编辑  收藏