快速幂算法（Fast exponentiation algorithm）

对于算式aⁿ，其基本运算的时间复杂度为O(n)。快速幂能将计算的复杂度降至O(log₂n)。

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Step 1.

　　将n拆分成二进制形式的加法：

　　n = (2^j-1 × k_j) + (2^j-2 × k_j-1) + ... + (2¹ × k₂) + (2⁰ × k₁)

　　其中，k_j 为n₍₂₎的第j位上的数字，显然 k_j = 0 或 1.

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Step 2.

　　于是，aⁿ = a^2j-1×k_j  ×  a^2j-2×k_j-1  ×  ...  ×  a^21×k₂  × a^20×k₁

　　　　　    = (a2j-1)kj ×  (a2j-2)kj-1  ×  ...  ×  (a21)k2  ×  (a20)k1.

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Step 3.

　　由于 a^2j-1 = a^2j-2 × a^2j-2， 利用递推关系可以很快求出 a²⁰ 至 a^2j-1 各项，时间复杂度为O(log₂n)。

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Step 4.

　　最后，运算出 (a^2j-1)^k_j  各项，并将它们相乘得出aⁿ，此步骤的时间复杂度也为O(log₂n)。

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Summary.

　　此算法总体的时间复杂度为O(log₂n)。故当n的值较大时，此算法比普通算法要快很多。

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Applicaiton.

　　各类幂运算，包括实数幂、矩阵幂(Matrix exponential)等等。

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2015-04-12 m.Just