CF 1065 E. Side Transmutations

E. Side Transmutations

http://codeforces.com/contest/1065/problem/E

题意：

　　长度为n的字符串，字符集为A，问多少不同的字符串。两个字符串相同：

1. 在给定的数组b中，找到一个数b[i]，设k=b[i]
2. 将1~k，与n-k+1~n 的字符串翻转，然后交换位置。新形成的字符串与原来的字符串相等。

分析：

　　考虑只有一个b[i]的影响，那么对于一个字符串，分成了三段，前面k个，后面k个，中间的。中间的部分就是$A^{n-k-k}$，再看两边形成多少种字符串，使得这些都是不同的。

　　左边k个和右边k个的所有的字符串，两两组合，加上中间的部分，构成一个字符串。然后这个字符串与操作后的字符串是相等的，于是它们应该只计算一次，所以除以2就行。但是有一些字符串操作后，与原来一样，这些也不会形成等价的字符串，所以不需除以2，算一次就行了。

　　左边k个的总方案数$A^{k}$，两边两两组合$A^{k+k}$。操作后与原来一样的字符串$A^{k}$，表示左边k个随便选，右边的k个为左边的倒置。那么第一部分就是$\frac{A^{k+k}-A^{k}}{2}$，再加上第二部分$A^{k}$，合并后$\frac{A^{k} \times (A^{k} + 1)}{2}$。

　　然后考虑增加一个b的影响，那么中间的部分，不可以在按上一个的选了，为$A^{n-k-k}$，所以先不考虑中间的，只考虑两边的。因为b[i]下一个回事两边增加b[i+1]-b[i]个字符。那么这b[i]在按照上面的方式组合，就会有形成一些新的字符串。那么乘上这些即可，最后再乘上中间的部分。就是$A^{n-b[m]-b[m]}$

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cctype>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#define fi(s) freopen(s,"r",stdin);
#define fo(s) freopen(s,"w",stdout);
using namespace std;
typedef long long LL;

inline int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-'0';return x*f;
}

const int N = 200005;
const LL mod = 998244353;

LL ksm(LL a, LL b) {
    LL res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

LL b[N];

int main() {
    int n = read(), m = read();
    LL A = read();
    for (int i=1; i<=m; ++i) b[i] = read();
    LL ans = 1, inv2 = ksm(2, mod - 2);
    for (int i=1; i<=m; ++i) {
        LL L = b[i] - b[i - 1];
        LL tmp = ksm(A, L);
        ans = ans * tmp % mod * (tmp + 1) % mod;
        ans = ans * inv2 % mod;
    }
    ans = ans * ksm(A, n - b[m] - b[m]) % mod;
    cout << ans;
    return 0;
}