1497: [NOI2006]最大获利（最大权闭合子图）
1497: [NOI2006]最大获利
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Description
新的技术正冲击着手机通讯市场，对于各大运营商来说，这既是机遇，更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜，需要做太多的准备工作，仅就站址选择一项，就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。在前期市场调查和站址勘测之后，公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址，而由于这些地址的地理位置差异，在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的，所幸在前期调查之后这些都是已知数据：建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi（1≤i≤N）。另外公司调查得出了所有期望中的用户群，一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci：这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯，公司可以获益Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N） THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站（投入成本），为一些用户提供服务并获得收益（获益之和）。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢？（净获利 = 获益之和 - 投入成本之和）
Input
输入文件中第一行有两个正整数N和M 。第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本，依次为P1, P2, …, PN 。以下M行，第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。所有变量的含义可以参见题目描述。
Output
你的程序只要向输出文件输出一个整数，表示公司可以得到的最大净获利。
Sample Input
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3
Sample Output
HINT
【样例说明】选择建立1、2、3号中转站，则需要投入成本6，获利为10，因此得到最大收益4。【评分方法】本题没有部分分，你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分，否则不得分。【数据规模和约定】 80%的数据中：N≤200，M≤1 000。 100%的数据中：N≤5 000，M≤50 000，0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。
分析
推荐文章:胡伯涛 《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
对于图闭合图建成网络，是：构造一个源点S，汇点T。将S与所有权值为正的点连一条容量为其权值的边，将T所有权值为负的点连一条容量为其权值的绝对值的边，原来的边将其容量定为正无穷。
那么怎么运用到题目上呢，需要进行转化一下。
我们可以理解成：人是正权值的点（有获益），中转站是负权值的的点（建造需要成本），每个人有两个所属的中转站，人和两个中转站之间有两条边。是不是很奇妙
这样就形成了一个闭合图，用上面的话，构造一个源点S，汇点T，正权值点（人）向S连边，容量就是点的权值；负权值点（中转站）向T连边，容量是点权值得绝对；原来的边容量正无穷。
网络图就构造好了，就是下面的图，求出最小割，即最大流，用sum-最大流。sum所有人带来的获益的和（所有正权值点的权值和）
求最小割的意义：
对于这样建图，其实还可以这样理解的，我再补充一下，如果理解求最大权闭合图，就可以做了，可以直接跳过。
我们建好图后，就是下面的图，然后求最小割，为啥求最小割呢（上面文章中有，这是另一种思路）。
求最小割其实就是求最少的花费，sum是所有人的带来的收益和，那么sum把所有的收益加起来了，减去花费不就是最大获益吗？这就是为什么求最小割了。
所以：最小割是花费，要让花费尽量小。
那么求最小割了，设最小割是ans花费，随后要用sum-ans：
- 首先中间的绿边是一定不能切的，切一条绿边的花费就是正无穷了！！！
- 切红边是什么意思呢：表示这个人的收益不要了，不需要满足他了
- 切蓝边：这个中转站建（意会一下，ans+中转站的价格，然后sum再减去，都减去成本，当然建啊）
然后可能有疑问了：会不会我切了红边（不要这个人的收益了），又把属于他的练歌蓝边切了。
当然不可能，绿边可不是凑了闹的，比如对于点a1,他有两条边s-a1-b1-t，s-a1-b2-t,如果切了s-a1这两条边已经断开了，再切b1-t,b2-t没什么用。
好了，到这了，突然发现打了这么多字，可能表达不清楚，qwq
code
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<queue> 4 #include<cstring> 5 6 using namespace std; 7 8 const int MAXN = 100100; 9 const int INF = 0x7fffffff; 10 struct Edge{ 11 int to,nxt,c; 12 }e[500100]; 13 int sum,tot = 1,n,m,s,t,ans; 14 int head[MAXN], val[MAXN],dis[MAXN]; 15 queue<int>q; 16 17 18 int read() 19 { 20 int x = 0,f = 1;char ch = getchar(); 21 for (; ch<'0'||ch>'9'; ch = getchar()) 22 if (ch=='-') f = -1; 23 for (; ch>='0'&&ch<='9'; ch = getchar()) 24 x = x*10+ch-'0'; 25 return x*f; 26 } 27 void add_edge(int u,int v,int w) 28 { 29 ++tot; 30 e[tot].c = w,e[tot].to = v,e[tot].nxt = head[u]; 31 head[u] = tot; 32 ++tot; 33 e[tot].c = 0,e[tot].to = u,e[tot].nxt = head[v]; 34 head[v] = tot; 35 } 36 bool bfs() 37 { 38 memset(dis,-1,sizeof(dis)); 39 q.push(s); 40 dis[s] = 0; 41 while (!q.empty()) 42 { 43 int u = q.front(); 44 q.pop(); 45 for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) 46 { 47 int v = e[i].to; 48 if (dis[v]==-1 && e[i].c>0) 49 { 50 dis[v] = dis[u]+1; 51 q.push(v); 52 } 53 } 54 } 55 if (dis[t]!=-1) return true; 56 return false; 57 } 58 int dfs(int u,int low) 59 { 60 if (u==t) return low; 61 int w ,tmp = low; 62 for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) 63 { 64 int v = e[i].to; 65 if (dis[v]==dis[u]+1 && e[i].c> 0) 66 { 67 w = dfs(v,min(low,e[i].c)); 68 e[i].c -= w; 69 e[i^1].c += w; 70 low -= w; 71 } 72 } 73 return tmp - low; 74 } 75 int main() 76 { 77 n = read();m = read(); 78 s = 0,t = n+m+1; 79 for (int x,i=1; i<=n; ++i) 80 { 81 x = read(); 82 add_edge(i+m,t,x);//建立从中转站到T的边，中转站的花费 83 } 84 for (int x,y,z,i=1; i<=m; ++i) 85 { 86 x = read(),y = read(),z = read(); 87 sum += z; 88 add_edge(i,m+x,INF);//建立第i个人到中转站的边INF 89 add_edge(i,m+y,INF); 90 add_edge(s,i,z);//建立从S到第i个人的边，第i个人的获益 91 } 92 while (bfs()) 93 ans += dfs(s,INF); 94 printf("%d",sum-ans); 95 return 0; 96 }
