有向图破坏（最小割，最小点权覆盖）

题意

给定一个\(n\)个点，\(m\)条边的有向图。

现在有一种操作，就是可以将任意点的所有出边或者所有入边删掉。

已知对于第\(i\)个点，将所有射入该点的边移除所需的花费为\(W^+_i\)，将所有从该点射出的边移除所需的花费为\(W^−_i\)。

求移除所有边的最小花费。

思路

考察一条边\((u, v)\)，要删除这条边，要么花费\(W^−_u\)，要么花费\(W^+_v\)。

因此就可以将一个点拆成两个点，建立二分图。该问题就是求二分图的最小点权覆盖集。

左边有\(n\)个点，代表射入点，虚拟源点\(S\)向这些点连容量是\(W^+_i\)的边；右边有\(n\)个点，代表射出点，这些点向虚拟汇点\(T\)连容量是\(W^-_i\)的边。中间的边容量是\(\infty\)。

跑最小割求最小点权覆盖集即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 210, M = 10410, inf = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int cur[N], d[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit)
{
    if(u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while(bfs()) {
        while(flow = find(S, inf)) {
            res += flow;
        }
    }
    return res;
}

void dfs(int u)
{
    st[u] = true;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if(f[i] && !st[j]) {
            dfs(j);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    S = 0, T = 2 * n + 1;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int w;
        scanf("%d", &w);
        add(S, i, w);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int w;
        scanf("%d", &w);
        add(n + i, T, w);
    }
    while(m --) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(b, a + n, inf);
    }
    printf("%d\n", dinic());
    dfs(S);
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < idx; i += 2) {
        int a = e[i ^ 1], b = e[i];
        if(st[a] && !st[b]) {
            ans ++;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    for(int i = 0; i < idx; i += 2) {
        int a = e[i ^ 1], b = e[i];
        if(st[a] && !st[b]) {
            if(a == S) printf("%d +\n", b);
            if(b == T) printf("%d -\n", a - n);
        }
    }
    return 0;
}