Stone Game（思维、模拟）

题意

有\(n\)堆石子，每堆有\(a_i\)个，并且相邻两堆石子的个数互不相同。

两个人轮流取石子，每次取\(1\)个。取石子的过程中不能打破相邻两堆石子个数不同的规则。

无法再取时，游戏终止。问先手必胜还是后手必胜。

注意：当某一堆个数是\(0\)时，也算是一堆

数据范围

\(1 \leq T \leq 100\)

\(1 \leq n \leq 10^5\)

\(0 \leq a_i \leq 10^9\)

思路

这道题表面看上去是个博弈，其实稍微转化一下，发现其实就是个模拟题。

可以先考虑一下两堆石子个数不同的规则，这个规则的含义其实就是取石子的过程中，相邻两堆石子数量的大小关系不变。

我们要考虑什么时候游戏结束。不妨设\(f(x)\)为石子个数函数，我们寻找\(f(x)\)的极小值。

设极小值是\(I = \{i_1, i_2, \dots, i_k\}\)，对\(\forall i \in I\)，令\(f(i) = 0, f(i + 1) = f(i - 1) = 1, \dots, f(i + k) = f(i - k) = k\)，依此类推。

最后的答案就是\(\sum_{i = 1}^n (a_i - f(i))\)

注意两端的石子要特判

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 100010;

int n;
ll a[N];
int loc[N];
int cnt;

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for(int cas = 1; cas <= T; cas ++) {
        scanf("%d", &n);
        cnt = 0;
        ll sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
            scanf("%lld", &a[i]);
            sum += a[i];
        }
        if(n == 1) {
            if(sum % 2) printf("Case %d: Alice\n", cas);
            else printf("Case %d: Bob\n", cas);
            continue;
        }
        for(int i = 2; i < n; i ++) {
            if(a[i] < a[i - 1] && a[i] < a[i + 1]) {
                loc[cnt] = i;
                cnt ++;
            }
        }
        a[0] = -1;
        int r = 1;
        while(r < n && a[r] < a[r + 1]) {
            a[r] = a[r - 1] + 1;
            r ++;
        }
        a[n + 1] = -1;
        int l = n;
        while(l > 1 && a[l] < a[l - 1]) {
            a[l] = a[l + 1] + 1;
            l --;
        }
        for(int i = 0; i < cnt; i ++) {
            int t = loc[i];
            a[t] = 0;
            int l = t - 1, r = t + 1;
            while(r < n &&a[r] < a[r + 1]) {
                a[r] = a[r - 1] + 1;
                r ++;
            }
            while(l > 1 && a[l] < a[l - 1]) {
                a[l] = a[l + 1] + 1;
                l --;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
            if(i == 1 && a[1] > a[2]) a[1] = a[2] + 1;
            else if(i == n && a[n] > a[n - 1]) a[n] = a[n - 1] + 1;
            else if(a[i - 1] < a[i] && a[i] > a[i + 1]) a[i] = max(a[i - 1], a[i + 1]) + 1;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i ++) sum -= a[i];
        if(sum % 2) printf("Case %d: Alice\n", cas);
        else printf("Case %d: Bob\n", cas);
    }
    return 0;
}