数学问题

1.主要内容

进制转换、最大公约数和最小公倍数、素数筛选、二分求幂、高精度整数

这一部分主要难点在于掌握一些经典的处理方法，还有就是时间复杂度和数据溢出的问题

2.取模运算

（1）计算机中的取模运算a%b，是先计算二者绝对值的模，之后再取和a一样的符号

（2）当计算结果为负值时，与理论结果并不相符。这是需要把负数的结果+b在对b取模，直到结果为正

（3）大数取模防止逸出

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

3.数位拆解

要求把输入数据的每位分别进行一些处理，最好的办法使用char数组输入

4.进制转换

（1）库函数方法

这个方法只适用于 已知输入数进制，输入输出都是int可以表示的范围（2^31-1）

使用scanf()输入规定进制的数到int，在使用printf()输出要求转化的机制数

void itoa(int value,char*string,int axis);该函数可以把整数转换成axis（2,8,16）表示的进制字符串，再用“%s”输出即可

int atoi(char *)

（2）手算原理

k进制转10进制：各位依权重k^(n-1)求和

10进制转k进制：先取余（对k），在/=k，不断循环，可得到从低到高的k进制数

5.最大公约数与最小公倍数

（1）英文分别为 greatest common divisor 和 least common multiple

（2）筛选G常用欧几里得算法：G(a,b)=G(b,a%b) 递归直到第二个形参为0时，返回第一个形参

筛选L常用到公式L=(a*b)/G，这个等式在一些数学题目里也常用到

6.素数

6.1单个素数的判断

（1）1是合数，不是素数

（2）2是素数，1和2需要单独考虑

（3）从i=2开始，到 i^2<=n（这里最好提前计算sqrt(n)）结束，如果n可以整除i，那么它是合数；否则是素数

 6.2大范围内素数的筛选

（1）一般先利用init()函数，把题目中给定的取值上界内所有的素数都筛选出来

（2）从2开始，如果已经被标记为合数则跳过；如果没有则是素数，记录下来，并把它的倍数全都标记为合数（这里有技巧）

6.3计算素因数

结合6.2的思路，对于N而言：

理论上，大于sqrt(N)的素因数最多有一个

（1）筛选sqrt(N)（最好比这个数大一些）以内的素数，如果是因数，则N/=这个数（此处注意这个数可能是多重因数）

（2）如果筛选完后，如果N不是1，说明存在一个大于sqrt(N)的素因数，也就是N现在的值

7.二分求幂问题

这个问题就是要在a b很大的情况下求a^b

（1）把b化成二进制的形式，如3^31=3^(1111)

（2）把结果写成多个项之积，每项都是前一项的平方，即3^(1111)=3^(1+2+4+8) =(3^1)(3^2) (3^4) (3^8)

（3）这种题通常让求最后结果MOD某个数的值，一定要每步都在ans和a两个地方分别MOD，否则会溢出

结合1.和7.的一个题

8.高精度整数

 （1）主要原理使用一个结构体存储位数超出c++限制的数字，无论是+-*/等运算符的重载原理都一样，即 

 tmp=a1[i](+*-)a2[i](+-)carry;

carry=tmp/10000;

tmp%=10000; 

 （2）有时间还可以看一下<bits/stdc++.h>这个库

 （3）这部分最容易错的是对数组下标的计算以及数组越界问题 必须要特别小心