第五章作业

1. 回溯法分析“最小重量机器设计问题”
   首先明确问题：最小重量机器设计问题通常是指：机器由n个部件组成，每个部件有m个可选型号，第 i个部件的第 j 个型号的重量为 wij、价格为 cij；要求选择每个部件的一个型号，使总价格不超过预算 C，且总重量最小。

1.1 解空间
解空间是所有满足“每个部件选一个型号”的选择组合，形式为 (x_1, x_2, ..., x_n) ，其中 x_i 属于{1, 2, ..., m} ( x_i ) 表示第 i 个部件选择的型号）。
解空间的规模为 m^n（每个部件有 m) 种选择，共 n 个部件）。

1.2 解空间树
解空间树是排列树（或子集树的变体），树的层次对应“部件的选择步骤”：

• 根节点：未选择任何部件的初始状态；
• 第 i 层的节点：已确定前 i-1 个部件的型号，当前正在选择第 i 个部件的型号；
• 叶节点：已确定所有 n 个部件的型号，对应一个完整的选择组合。
  每个非叶节点有 m 个子节点（对应当前部件的 m 种型号选择）。

1.3 遍历过程中每个节点的状态值
每个节点需记录以下状态，用于剪枝和计算：

1. 已选部件的序号：当前选择到第 k 个部件（对应树的层次）；

2. 已选型号的总重量：前 k 个部件的重量之和 W ；

3. 已选型号的总价格：前 k 个部件的价格之和 C ；

4. 当前最优解的总重量：已找到的满足价格约束的最小总重量（用于剪枝：若当前节点的 W + 剩余部件的最小可能重量={当前最优重量}，则剪枝）。

5. 对回溯算法的理解
   回溯算法是一种深度优先的暴力搜索优化方法，核心是“尝试-回退-剪枝”：

6. 核心思想：从根节点出发遍历解空间树，尝试每一种可能的选择；若当前选择不符合约束（或无法得到更优解），则回退到上一节点，尝试其他选择（即“回溯”）；同时通过剪枝（提前舍弃不可能得到最优解的分支）减少搜索量。

7. 适用场景：解空间规模较大，但可通过约束条件剪枝的问题（如组合优化、排列问题、子集问题等）。

8. 关键特征：

   • 基于“解空间树”遍历，保证不遗漏可行解；
   • 通过约束函数（排除违反问题条件的分支）和限界函数（排除无法得到更优解的分支）剪枝，提高效率；

9. 局限性：若解空间规模极大且难以剪枝，时间复杂度仍较高（最坏情况为 O(2^n) 或 O(n!)）。