第四章作业

1、以区间选点问题（典型选点问题）为例：问题描述：给定多个区间，选择最少的点，使每个区间至少包含一个点。贪心策略：将所有区间按右端点升序排序；选择第一个区间的右端点作为第一个点；依次遍历后续区间，若当前区间不包含已选点，则选择该区间的右端点，重复此过程。贪心选择性质证明：假设最优解为 S，第一个选中的点为 x（对应某区间的右端点）。若最优解中第一个点 (y < x)，则将 y 替换为 x，仍能覆盖所有包含 y 的区间（因 x 是原区间右端点，覆盖范围更大），且不增加点数，故贪心选择的点可构成最优解的一部分。时间复杂度：排序的时间复杂度为 (O(nlog n))，遍历区间的时间复杂度为 (O(n))，整体复杂度为 O(nlog n))。
2：贪心算法的理解核心思想：每一步都做出局部最优选择，期望通过局部最优累积得到全局最优。
关键特征：存在贪心选择性质：局部最优选择可导出全局最优；存在最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。
适用场景：仅适用于满足贪心选择性质和最优子结构的问题（如区间调度、哈夫曼编码、最小生成树等）。
局限性：并非所有问题都适用，局部最优可能无法导出全局最优（如背包问题中的 “0-1 背包” 不适用贪心，而 “完全背包” 在特定条件下适用）。