斐波那契数列及其应用

斐波那契数列的定义为：

　　　　　　　　　　

用代码实现斐波那契数列求f(n)时，通常认为有递归和循环两种实现方法。

其中递归实现代码如下：

public static long Fabonacci_recur(long n){
    if(n <= 0)
        return 0;
    if(n == 1)
        return 1;
    return Fabonacci_recur(n-1) + Fabonacci_recur(n-2);
}//Fabonacci_recur

但是递归实现虽然让代码简洁了，却存在着由于每次函数调用都需要保存参数，返回地址及临时变量，进出栈需要时间开销等操作，此外还存在重复计算的问题。因此递归调用的效率低下。

另外当数据量比较大时，由于递归的层级太多，还会导致调用栈溢出。

考虑到递归调用的诸多问题。实际在代码实现时很少会采用递归调用，更多的是循环调用：

public static long Fabonacci_cycle(long n){
    long[] result = {0,1};
    if(n < 2)
        return result[(int) n];
    long fabZero = 0;
    long fabOne  = 1;
    long fabN    = 0;
    for(int i = 2 ; i <= n ;i++){
        fabN = fabZero + fabOne ;
        fabZero = fabOne ;
        fabOne  = fabN;
    }
    return fabN ;
}//Fabonacci_cycle

 

斐波那契数列的应用

问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求青蛙跳上一个n级的台阶一共有多少种跳法。

【   遇到复杂问题可以考虑采用：(1) 画图--使抽象问题形象化 (2) 举例--使抽象问题具体化 (3)分解--使复杂问题简单化   】

这里先看几个特殊的例子：

当 n = 1 只有一种跳法 f(n) = 1 

当 n = 2 有两种跳法    f(n) = 2

考虑一般情况  当 n = m (m>2) 时， 跳到n阶台阶前必先经过第n-1阶 和 第 n-2 阶 这两个台阶的任意一个，而跳到第n-1阶有f(n-1)种跳法，调到n-2阶有f(n-2)种跳法，因此跳到第n 阶有f(n-1) + f(n-2) 种跳法

显然 总的跳法数f(n) 是一个斐波那契数，但是该斐波那契数所在数列的前两项为1,2 

即     1,2,3,5,8,13,21 ……

和     1,1,2,3,5, 8,13 …… 的斐波那契数列由有细微的差异 。