LCS（最长公共子串和最长公共子序列）

一.最长公共子串
  动态规划法：

   1.定义字符串str1的索引为i, 第二个字符串str2的索引为j
   2.定义dp[i][j] 为str1取前面长度为i的子串，str2取前面长度为j的子串，str1必须以第i个结果，str2必须以第j个结果
   3.定义状态转移方程

                        

 

 

    原理：如果2个字符串的最后一个不相等，它们的LCS=空串， 若相等，2个都往前推一位，该情况的子串+这一位=现在的子串

              特别注意：比如对于str1, 前 i个： 索引是从0到 i - 1
   

 4.代码实现

public int longestCommonSubstring(String A, String B) {
        
        
        int a_len = A.length();
        int b_len = B.length();
        int max = 0;
        
        //dp[i][j] 为 A取前i个，B取前j个，看这两个的LCS长度，各个的最后一个不等，肯定是0了
        int[][] dp = new int[a_len + 1][b_len + 1];  
        
        
        for (int i = 1; i <= a_len; ++i) {
            for (int j = 1; j <= b_len; ++j) {
                
                if (A.charAt(i - 1) == B.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                    if (dp[i][j] > max) max = dp[i][j];
                } else {
                    dp[i][j] = 0;
                }
                
            }
        }
        return max;
    }

 

二.最长公共子序列

      和最长公共子串的区别： 这个可以跳，当str1[i -1] != str2[j - 1]时，dp[i][j]可以从2个方向来，dp[i - 1][j] 或 dp[i][j - 1]

dp[i][j] >= dp[<=i][<=j] 所以最近的就是dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]

 

public int longestCommonSubsequence(String A, String B) {
        
        int a_len = A.length();
        int b_len = B.length();
        int max = 0;
        
        int[][] dp = new int[a_len + 1][b_len + 1];
        
        for (int i = 1; i <= a_len; i++) {
            for (int j = 1; j <= b_len; j++) {
                if (A.charAt(i - 1) == B.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    //区别在这里
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
                max = Math.max(max, dp[i][j]);
            }
        }
        
        return max;
    }